Решение: Определить, какой ток создает электрон, вращающийся вокруг ядра в атоме водорода

Условие задачи:

Определить, какой ток создает электрон, вращающийся вокруг ядра в атоме водорода, если радиус его орбиты 0,53·10^-10 м?

Задача №11.4.9 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(R=0,53 \cdot 10^{-10}\) м, \(I-?\)

Решение задачи:

В модели атома Резерфорда отрицательно заряженный электрон вращается вокруг положительно заряженного ядра атома с некоторой скоростью \(\upsilon\). По условию задачи радиус орбиты электрона равен \(R\). Ядро атома водорода есть протон (нейтронов там нет, так как это не изотоп), заряд которого по модулю равен заряду электрона (\(e=1,6 \cdot 10^{-19}\) Кл).

Ток \(I\) есть заряд, проходящий через некоторое сечение за единицу времени, поэтому его определяют по формуле:

\[I = \frac{{\Delta q}}{{\Delta t}}\]

Понятно, что за один оборот электрона вокруг ядра водорода через любое сечение, перпендикулярное орбите, будет проходить заряд, по модулю равный модулю заряда электрона, то есть \(e\). Поэтому:

\[I = \frac{e}{t}\;\;\;\;(1)\]

Здесь \(t\) — время, за которое электрон сделает один оборот вокруг ядра водорода (протона), его можно найти, разделив длину орбиты на скорость электрона, то есть:

\[t = \frac{{2\pi R}}{\upsilon }\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (2) в формулу (1), тогда:

\[I = \frac{{e\upsilon }}{{2\pi R}}\;\;\;\;(3)\]

Сила кулоновского взаимодействия зарядов электрона и протона создает центростремительное ускорение электрона, поэтому из второго закона Ньютона справедливо записать:

\[\frac{{k{e^2}}}{{{R^2}}} = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{R}\]

Здесь \(k\) — коэффициент пропорциональности в законе Кулона, равный 9·10⁹ Н·м²/Кл², \(m_e\) — масса электрона, равная 9,1·10^-31 кг.

Тогда сократив по радиусу \(R\) в знаменателях, имеем:

\[\frac{{k{e^2}}}{R} = {m_e}{\upsilon ^2}\]

Откуда скорость вращения электрона по орбите \(\upsilon\) равна:

\[\upsilon = e\sqrt {\frac{k}{{{m_e}R}}}\;\;\;\;(4)\]

Подставим выражение (4) в формулу (3):

\[I = \frac{{{e^2}}}{{2\pi R}}\sqrt {\frac{k}{{{m_e}R}}} \]

Задача решена в общем виде, теперь произведем расчет численного ответа:

\[I = \frac{{{{\left( {1,6 \cdot {{10}^{ — 19}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 3,14 \cdot 0,53 \cdot {{10}^{ — 10}}}}\sqrt {\frac{{9 \cdot {{10}^9}}}{{9,1 \cdot {{10}^{ — 31}} \cdot 0,53 \cdot {{10}^{ — 10}}}}} = {10^{ — 3}}\;А = 1\;мА\]