Условие задачи:
Небольшой предмет расположен между двумя плоскими зеркалами, образующими угол 30°. Предмет находится на расстоянии 10 см от линии пересечения зеркал и на одинаковом расстоянии от обоих зеркал. Каково расстояние между мнимыми изображениями этого предмета в зеркале?
Задача №10.1.9 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(\alpha=30^\circ\), \(r=10\) см, \(l-?\)
Решение задачи:
Для решения задачи необходимо сделать рисунок. Важно понять, что предмет O расположен на биссектрисе AO угла BAC, образованного зеркалами, поскольку согласно условию он расположен на одинаковом расстоянии от обоих зеркал.
Далее необходимо построить изображения O’ и O” в обоих зеркалах, учитывая тот факт, что изображение предмета в плоском зеркале симметрично самому предмету относительно плоскости зеркала (поэтому OC=CO’=OB=BO”=x).
Из прямоугольного треугольника ACO найдем \(x\), учитывая, что угол CAO равен \(\frac{\alpha}{2}\), так как AO – биссектриса угла BAC:
\[x = r\sin \frac{\alpha }{2}\]
Теперь рассмотрим четырехугольник ABOС. Известно, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°. Так как углы ABO и ACO – прямые (т.е. равны 90°) и угол BAC равен \(\alpha\), то угол BOC равен \(\left( {180^\circ – \alpha } \right)\).
Отлично, осталось рассмотреть треугольник OO’O”. Используя теорему косинусов, мы можем определить длину отрезка O’O”, обозначенную у нас в решении как \(l\):
\[{l^2} = {\left( {2x} \right)^2} + {\left( {2x} \right)^2} – 2 \cdot 2x \cdot 2x \cdot \cos \left( {180^\circ – \alpha } \right)\]
\[{l^2} = 4{x^2} + 4{x^2} – 8{x^2} \cdot \cos \left( {180^\circ – \alpha } \right)\]
\[{l^2} = 8{x^2} – 8{x^2} \cdot \cos \left( {180^\circ – \alpha } \right)\]
Из тригонометрии известно, что \(\cos \left( {180^\circ – \alpha } \right) = – \cos \alpha\), поэтому:
\[{l^2} = 8{x^2} + 8{x^2} \cdot \cos \alpha \]
\[{l^2} = 8{x^2}\left( {1 + \cos \alpha } \right)\]
Также из тригонометрии известно, что \(\cos \alpha = 2{\cos^2}\frac{\alpha }{2} – 1\). Также учитывая ранее полученное выражение (1), имеем:
\[{l^2} = 8{r^2}{\sin ^2}\frac{\alpha }{2}\left( {1 + 2{\cos^2}\frac{\alpha }{2} – 1} \right)\]
\[{l^2} = 16{r^2}{\sin ^2}\frac{\alpha }{2}{\cos^2}\frac{\alpha }{2}\]
Так как \(\sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}\) (из той же тригонометрии, как Вы могли догадаться), то:
\[{l^2} = 4{r^2}{\sin ^2}\alpha \]
\[l = 2r\sin \alpha \]
Задача решена в общем виде, численный ответ задачи равен:
\[l = 2 \cdot 0,1 \cdot \sin 30^\circ = 0,1\;м\]
Ответ: 0,1 м.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
10.1.8 Солнечный луч, проходящий через отверстие в ставне, составляет с поверхностью стола
10.1.10 На какой высоте находится аэростат, если с башни высотой 20 м он виден под углом 45°
10.1.11 Какова должна быть минимальная высота вертикального зеркала, в котором человек
![](/mark_r_img.png)
Если решать задачу в общем виде, то (самый короткий путь)
1) видно, что угол O’AO” = 2 ?
2) из треугольника O’AO”
L^2 = r^2 + r^2 – 2 r r cos( 2 ?)
…
!!!
Можно увидеть что в треугольнике АО1О2 боковые стороны равны 10 и 10, а угол при вершине 60. Из этого следует, что треугольник равносторонний![:shock:](https://icodepro.ru/wp-content/themes/root/images/smilies/eek.png)
!!!!![;-)](https://icodepro.ru/wp-content/themes/root/images/smilies/wink.png)