Условие задачи:

Плоская проволочная квадратная рамка со стороной 60 см находится в магнитном поле с индукцией 1 мТл, линии которого перпендикулярны плоскости рамки. Затем рамку вытягивают в одну линию. Определить заряд, протекший по рамке при изменении её формы. Сопротивление единицы длины провода рамки 0,01 Ом/м.

Задача №8.4.16 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(a=60\) см, \(B=1\) мТл, \(\beta=90^\circ\), \(R_0=0,01\) Ом/м, \(q-?\)

Решение задачи:

В общем случае магнитный поток \(\Phi\) через некоторую плоскую поверхность, помещённую в однородном магнитном поле, можно определить по такой формуле:

\[\Phi = BS\cos \alpha\]

В этой формуле \(B\) — индукция магнитного поля, \(S\) — площадь поверхности, через которую определяется магнитный поток, \(\alpha\) — угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции.

Если квадратную рамку вытягивают в линию, значит конечная площадь рамки (а значит и магнитный поток через неё) равна нулю. Поэтому изменение магнитного потока \(\Delta \Phi\) равно начальному магнитному потоку, то есть:

\[\Delta \Phi = BS\cos \alpha \;\;\;\;(1)\]

Понятно, что если угол между линиями магнитного поля и плоскостью рамки равен \(\beta\), то угол \(\alpha\) равен \(\left( {90^\circ — \beta } \right)\).

Если сторона квадратной рамки равна \(a\), то её площадь \(S\) равна:

\[S = {a^2}\]

Формула (1) в таком случае примет вид:

\[\Delta \Phi = B{a^2}\cos \left( {90^\circ — \beta } \right)\;\;\;\;(2)\]

Понятно, что из-за изменения магнитного потока в рамке будет возникать ЭДС индукции. Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока. Поэтому:

\[{{\rm E}_i} = \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\]

Подставим в полученную формулу выражение (2) (откинем символ изменения времени «дельта»):

\[{{\rm E}_i} = \frac{{B{a^2}\cos \left( {90^\circ — \beta } \right)}}{t}\;\;\;\;(3)\]

С другой стороны, из закона Ома следует, что:

\[{{\rm E}_i} = IR\;\;\;\;(4)\]

В этой формуле \(I\) — сила тока в рамке, \(R\) — сопротивление рамки.

Зная, что длина квадратной рамки равна \(a\), а сопротивление единицы длины провода рамки равно \(R_0\), найдем сопротивление \(R\) по формуле:

\[R = 4{R_0}a\]

Полученное выражение подставим в формулу (4):

\[{{\rm E}_i} = 4I{R_0}a\;\;\;\;(5)\]

Приравняем (3) и (5), тогда:

\[\frac{{B{a^2}\cos \left( {90^\circ — \beta } \right) }}{t} = 4I{R_0}a\]

\[\frac{{Ba\cos \left( {90^\circ — \beta } \right) }}{t} = 4I{R_0}\]

Домножим обе части уравнения на время \(t\):

\[Ba\cos \left( {90^\circ — \beta } \right) = 4It{R_0}\]

Произведение силы тока \(I\) на время \(t\) даёт искомый протекший через рамку заряд \(q\), значит:

\[Ba\cos \left( {90^\circ — \beta } \right) = 4q{R_0}\]

\[q = \frac{{Ba\cos \left( {90^\circ — \beta } \right) }}{{4{R_0}}}\]

Задача решена в общем виде, посчитаем численный ответ:

\[q = \frac{{{{10}^{ — 3}} \cdot 0,6 \cdot \cos \left( {90^\circ — 90^\circ } \right)}}{{4 \cdot 0,01}} = 0,015\;Кл = 15\;мКл\]

Ответ: 15 мКл.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

8.4.15 Проводник длиной l=1 м лежит на двух гладких горизонтальных шинах, расположенных
8.4.17 Квадратная рамка площадью 100 см2 вращается в магнитном поле с индукцией 0,2 Тл
8.4.18 Рамка площадью 20 см2, имеющая 1000 витков, вращается с частотой 50 Гц