Решение: На резисторе внешней цепи аккумулятора выделяется тепловая мощность 10 Вт

Условие задачи:

На резисторе внешней цепи аккумулятора выделяется тепловая мощность 10 Вт. Когда к концам резистора присоединили такой же второй аккумулятор, выделяемая мощность стала в два раза больше. Какой будет выделяемая мощность, если к аккумуляторам одноименными полюсами присоединить третий такой же аккумулятор?

Задача №7.4.44 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(P_1=10\) Вт, \(P_2=2P_1\), \(P_3-?\)

Решение задачи:

Известно, что мощность \(P\), выделяющуюся во внешней цепи, можно определить по такой формуле:

\[P = {I^2}R\;\;\;\;(1)\]

Силу тока в цепи \(I\) найдем по закону Ома для полной цепи:

\[I = \frac{{\rm E}}{{R + r}}\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение для тока (2) в формулу (1), тогда получим:

\[P = \frac{{{{\rm E}^2}R}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}}\]

Если соединить параллельно \(N\) одинаковых аккумуляторов с ЭДС \(\rm E\) и внутренним сопротивлением \(r\), то эквивалентная ЭДС будет равна \(\rm E\), а эквивалентное внутреннее сопротивление \(\frac{r}{N}\). Поэтому:

\[\left\{ \begin{gathered}
{P_1} = \frac{{{{\rm E}^2}R}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}} \hfill \\
{P_2} = \frac{{{{\rm E}^2}R}}{{{{\left( {R + \frac{r}{2}} \right)}^2}}} \hfill \\
{P_3} = \frac{{{{\rm E}^2}R}}{{{{\left( {R + \frac{r}{3}} \right)}^2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Или, что то же самое:

\[\left\{ \begin{gathered}
{P_1} = \frac{{{{\rm E}^2}R}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}} \;\;\;\;(3)\hfill \\
{P_2} = \frac{{4{{\rm E}^2}R}}{{{{\left( {2R + r} \right)}^2}}} \;\;\;\;(4)\hfill \\
{P_3} = \frac{{9{{\rm E}^2}R}}{{{{\left( {3R + r} \right)}^2}}} \;\;\;\;(5)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Разделим (4) на (3), тогда:

\[\frac{{{P_2}}}{{{P_1}}} = \frac{{4{{\left( {R + r} \right)}^2}}}{{{{\left( {2R + r} \right)}^2}}}\]

По условию \(P_2=2P_1\), поэтому:

\[\frac{{4{{\left( {R + r} \right)}^2}}}{{{{\left( {2R + r} \right)}^2}}} = 2\]

Тогда:

\[4{\left( {R + r} \right)^2} = 2{\left( {2R + r} \right)^2}\]

Раскроем скобки в обеих частях:

\[4{R^2} + 8Rr + 4{r^2} = 8{R^2} + 8Rr + 2{r^2}\]

\[4{R^2} + 4{r^2} = 8{R^2} + 2{r^2}\]

\[2{r^2} = 4{R^2}\]

\[r = \sqrt 2 R\;\;\;\;(6)\]

Теперь разделим (5) на (3):

\[\frac{{{P_3}}}{{{P_1}}} = \frac{{9{{\left( {R + r} \right)}^2}}}{{{{\left( {3R + r} \right)}^2}}}\]

\[\frac{{{P_3}}}{{{P_1}}} = 9{\left( {\frac{{R + r}}{{3R + r}}} \right)^2}\]

Учитывая (6), имеем:

\[\frac{{{P_3}}}{{{P_1}}} = 9{\left( {\frac{{R + \sqrt 2 R}}{{3R + \sqrt 2 R}}} \right)^2} = 9{\left( {\frac{{1 + \sqrt 2 }}{{3 + \sqrt 2 }}} \right)^2}\]

Избавимся от иррациональности в знаменателе, для чего домножим на сопряженное:

\[\frac{{{P_3}}}{{{P_1}}} = 9{\left( {\frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {3 — \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 2 } \right)\left( {3 — \sqrt 2 } \right)}}} \right)^2}\]

\[\frac{{{P_3}}}{{{P_1}}} = 9{\left( {\frac{{3 — \sqrt 2 + 3\sqrt 2 — 2}}{7}} \right)^2} = 9{\left( {\frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{7}} \right)^2}\]

Значит:

\[{P_3} = 9{\left( {\frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{7}} \right)^2}{P_1}\]

\[{P_3} = 9{\left( {\frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{7}} \right)^2} \cdot 10 = 26,9\;Вт\]