Решение: При силе тока 2 А во внешней цепи выделяется мощность 24 Вт, а при силе тока 5 А - мощность 30 Вт

Условие задачи:

При силе тока 2 А во внешней цепи выделяется мощность 24 Вт, а при силе тока 5 А — мощность 30 Вт. Какая максимальная мощность может выделяться во внешней цепи?

Задача №7.4.53 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(I_1=2\) А, \(P_1=24\) Вт, \(I_2=5\) А, \(P_2=30\) Вт, \(P_{max}-?\)

Решение задачи:

Определим, при каких условиях мощность во внешней цепи будет максимальной. Мощность во внешней цепи \(P\) можно найти по формуле:

\[P = UI\;\;\;\;(1)\]

Здесь \(U\) — напряжение на внешней цепи, которое можно найти согласно закону Ома по формуле:

\[U = {\rm E} — Ir\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (2) в формулу (1):

\[P = \left( {{\rm E} — Ir} \right)I\]

Рассмотрим функцию \(P\left( I \right)\), то есть зависимость мощности от силы тока:

\[P\left( I \right) = \left( {{\rm E} — Ir} \right)I\]

Раскроем скобки, тогда:

\[P\left( I \right) = {\rm E}I — {I^2}r\;\;\;\;(3)\]

Понятно, что графиком этой функции является парабола, обращенная ветвями вниз, при этом функция достигает максимума при силе тока \(I_{max}\), равной:

\[{I_{max }} = \frac{{\rm E}}{{2r}}\;\;\;\;(4)\]

Если подставить \(I_{max}\) в (3), то получим искомое значение максимальной мощности во внешней цепи \(P_{max}\):

\[{P_{max}} = {\rm E}{I_{max}} — I_{max}^2r\]

Учитывая (4), имеем:

\[{P_{max}} = \frac{{{{\rm E}^2}}}{{2r}} — \frac{{{{\rm E}^2}}}{{4r}}\]

\[{P_{max}} = \frac{{{{\rm E}^2}}}{{4r}}\;\;\;\;(5)\]

Получается нам нужно найти значения ЭДС \(\rm E\) и внутреннего сопротивления \(r\).

Запишем формулы для определения мощностей \(P_1\) и \(P_2\):

\[\left\{ \begin{gathered}
{P_1} = {U_1}{I_1} \hfill \\
{P_2} = {U_2}{I_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Напряжения на внешней цепи \(U_1\) и \(U_2\) можно найти по закону Ома для полной цепи:

\[\left\{ \begin{gathered}
{U_1} = {\rm E} — {I_1}r \hfill \\
{U_2} = {\rm E} — {I_2}r \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Тогда:

\[\left\{ \begin{gathered}
{P_1} = \left( {{\rm E} — {I_1}r} \right){I_1} \hfill \\
{P_2} = \left( {{\rm E} — {I_2}r} \right){I_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Или, если раскрыть скобки в правой части:

\[\left\{ \begin{gathered}
{P_1} = {\rm E}{I_1} — I_1^2r \hfill \\
{P_2} = {\rm E}{I_2} — I_2^2r \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Вот с этой системой нам и нужно будет поработать. Домножим обе части верхнего равенства на \(I_2^2\), а нижнего — на \(I_1^2\), тогда:

\[\left\{ \begin{gathered}
{P_1}I_2^2 = {\rm E}{I_1}I_2^2 — I_1^2I_2^2r \hfill \\
{P_2}I_1^2 = {\rm E}{I_2}I_1^2 — I_1^2I_2^2r \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Вычтем из нижнего равенства верхнее:

\[{P_2}I_1^2 — {P_1}I_2^2 = {\rm E}{I_2}I_1^2 — {\rm E}{I_1}I_2^2\]

\[{P_2}I_1^2 — {P_1}I_2^2 = {\rm E}{I_1}{I_2}\left( {{I_1} — {I_2}} \right)\]

Откуда ЭДС равна:

\[{\rm E} = \frac{{{P_2}I_1^2 — {P_1}I_2^2}}{{{I_1}{I_2}\left( {{I_1} — {I_2}} \right)}}\;\;\;\;(6)\]

Возвращаемся опять к нашей системе (над которой мы хотели хорошо поработать). Домножим обе части верхнего равенства на \(I_2\), а нижнего — на \(I_1\), тогда:

\[\left\{ \begin{gathered}
{P_1}{I_2} = {\rm E}{I_1}{I_2} — I_1^2{I_2}r \hfill \\
{P_2}{I_1} = {\rm E}{I_1}{I_2} — I_2^2{I_1}r \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Опять, вычтем из нижнего равенства верхнее:

\[{P_2}{I_1} — {P_1}{I_2} = I_1^2{I_2}r — I_2^2{I_1}r\]

\[{P_2}{I_1} — {P_1}{I_2} = {I_1}{I_2}r\left( {{I_1} — {I_2}} \right)\]

Откуда внутреннее сопротивление равно:

\[r = \frac{{{P_2}{I_1} — {P_1}{I_2}}}{{{I_1}{I_2}\left( {{I_1} — {I_2}} \right)}}\;\;\;\;(7)\]

Подставим (6) и (7) в формулу (5):

\[{P_{max}} = \frac{{{{\left( {{P_2}I_1^2 — {P_1}I_2^2} \right)}^2} \cdot {I_1}{I_2}\left( {{I_1} — {I_2}} \right)}}{{4I_1^2I_2^2{{\left( {{I_1} — {I_2}} \right)}^2} \cdot \left( {{P_2}{I_1} — {P_1}{I_2}} \right)}}\]

\[{P_{max}} = \frac{{{{\left( {{P_2}I_1^2 — {P_1}I_2^2} \right)}^2}}}{{4{I_1}{I_2}\left( {{I_1} — {I_2}} \right) \cdot \left( {{P_2}{I_1} — {P_1}{I_2}} \right)}}\]

Задача решена, посчитаем численный ответ:

\[{P_{max}} = \frac{{{{\left( {30 \cdot {2^2} — 24 \cdot {5^2}} \right)}^2}}}{{4 \cdot 2 \cdot 5 \cdot \left( {5 — 2} \right) \cdot \left( {24 \cdot 5 — 30 \cdot 2} \right)}} = 32\;Вт\]