Условие задачи:
При силе тока 2 А во внешней цепи выделяется мощность 24 Вт, а при силе тока 5 А — мощность 30 Вт. Какая максимальная мощность может выделяться во внешней цепи?
Задача №7.4.53 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(I_1=2\) А, \(P_1=24\) Вт, \(I_2=5\) А, \(P_2=30\) Вт, \(P_{max}-?\)
Решение задачи:
Определим, при каких условиях мощность во внешней цепи будет максимальной. Мощность во внешней цепи \(P\) можно найти по формуле:
\[P = UI\;\;\;\;(1)\]
Здесь \(U\) — напряжение на внешней цепи, которое можно найти согласно закону Ома по формуле:
\[U = {\rm E} — Ir\;\;\;\;(2)\]
Подставим выражение (2) в формулу (1):
\[P = \left( {{\rm E} — Ir} \right)I\]
Рассмотрим функцию \(P\left( I \right)\), то есть зависимость мощности от силы тока:
\[P\left( I \right) = \left( {{\rm E} — Ir} \right)I\]
Раскроем скобки, тогда:
\[P\left( I \right) = {\rm E}I — {I^2}r\;\;\;\;(3)\]
Понятно, что графиком этой функции является парабола, обращенная ветвями вниз, при этом функция достигает максимума при силе тока \(I_{max}\), равной:
\[{I_{max }} = \frac{{\rm E}}{{2r}}\;\;\;\;(4)\]
Если подставить \(I_{max}\) в (3), то получим искомое значение максимальной мощности во внешней цепи \(P_{max}\):
\[{P_{max}} = {\rm E}{I_{max}} — I_{max}^2r\]
Учитывая (4), имеем:
\[{P_{max}} = \frac{{{{\rm E}^2}}}{{2r}} — \frac{{{{\rm E}^2}}}{{4r}}\]
\[{P_{max}} = \frac{{{{\rm E}^2}}}{{4r}}\;\;\;\;(5)\]
Получается нам нужно найти значения ЭДС \(\rm E\) и внутреннего сопротивления \(r\).
Запишем формулы для определения мощностей \(P_1\) и \(P_2\):
\[\left\{ \begin{gathered}
{P_1} = {U_1}{I_1} \hfill \\
{P_2} = {U_2}{I_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Напряжения на внешней цепи \(U_1\) и \(U_2\) можно найти по закону Ома для полной цепи:
\[\left\{ \begin{gathered}
{U_1} = {\rm E} — {I_1}r \hfill \\
{U_2} = {\rm E} — {I_2}r \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Тогда:
\[\left\{ \begin{gathered}
{P_1} = \left( {{\rm E} — {I_1}r} \right){I_1} \hfill \\
{P_2} = \left( {{\rm E} — {I_2}r} \right){I_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Или, если раскрыть скобки в правой части:
\[\left\{ \begin{gathered}
{P_1} = {\rm E}{I_1} — I_1^2r \hfill \\
{P_2} = {\rm E}{I_2} — I_2^2r \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Вот с этой системой нам и нужно будет поработать. Домножим обе части верхнего равенства на \(I_2^2\), а нижнего — на \(I_1^2\), тогда:
\[\left\{ \begin{gathered}
{P_1}I_2^2 = {\rm E}{I_1}I_2^2 — I_1^2I_2^2r \hfill \\
{P_2}I_1^2 = {\rm E}{I_2}I_1^2 — I_1^2I_2^2r \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Вычтем из нижнего равенства верхнее:
\[{P_2}I_1^2 — {P_1}I_2^2 = {\rm E}{I_2}I_1^2 — {\rm E}{I_1}I_2^2\]
\[{P_2}I_1^2 — {P_1}I_2^2 = {\rm E}{I_1}{I_2}\left( {{I_1} — {I_2}} \right)\]
Откуда ЭДС равна:
\[{\rm E} = \frac{{{P_2}I_1^2 — {P_1}I_2^2}}{{{I_1}{I_2}\left( {{I_1} — {I_2}} \right)}}\;\;\;\;(6)\]
Возвращаемся опять к нашей системе (над которой мы хотели хорошо поработать). Домножим обе части верхнего равенства на \(I_2\), а нижнего — на \(I_1\), тогда:
\[\left\{ \begin{gathered}
{P_1}{I_2} = {\rm E}{I_1}{I_2} — I_1^2{I_2}r \hfill \\
{P_2}{I_1} = {\rm E}{I_1}{I_2} — I_2^2{I_1}r \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Опять, вычтем из нижнего равенства верхнее:
\[{P_2}{I_1} — {P_1}{I_2} = I_1^2{I_2}r — I_2^2{I_1}r\]
\[{P_2}{I_1} — {P_1}{I_2} = {I_1}{I_2}r\left( {{I_1} — {I_2}} \right)\]
Откуда внутреннее сопротивление равно:
\[r = \frac{{{P_2}{I_1} — {P_1}{I_2}}}{{{I_1}{I_2}\left( {{I_1} — {I_2}} \right)}}\;\;\;\;(7)\]
Подставим (6) и (7) в формулу (5):
\[{P_{max}} = \frac{{{{\left( {{P_2}I_1^2 — {P_1}I_2^2} \right)}^2} \cdot {I_1}{I_2}\left( {{I_1} — {I_2}} \right)}}{{4I_1^2I_2^2{{\left( {{I_1} — {I_2}} \right)}^2} \cdot \left( {{P_2}{I_1} — {P_1}{I_2}} \right)}}\]
\[{P_{max}} = \frac{{{{\left( {{P_2}I_1^2 — {P_1}I_2^2} \right)}^2}}}{{4{I_1}{I_2}\left( {{I_1} — {I_2}} \right) \cdot \left( {{P_2}{I_1} — {P_1}{I_2}} \right)}}\]
Задача решена, посчитаем численный ответ:
\[{P_{max}} = \frac{{{{\left( {30 \cdot {2^2} — 24 \cdot {5^2}} \right)}^2}}}{{4 \cdot 2 \cdot 5 \cdot \left( {5 — 2} \right) \cdot \left( {24 \cdot 5 — 30 \cdot 2} \right)}} = 32\;Вт\]
Ответ: 32 Вт.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
7.4.52 Два чайника, каждый из которых потребляет при напряжении 200 В по 400 Вт, закипают
7.4.54 Элемент замыкают один раз сопротивлением 4 Ом, другой — резистором сопротивлением 9 Ом
7.4.55 Сила тока, протекающего в проводнике, сопротивление которого равно 15 Ом, меняется
![](/mark_r_img.png)