Условие задачи:

При подключении к источнику тока ЭДС 15 В сопротивления 15 Ом КПД источника равен 75%. Какую максимальную мощность внешней цепи может выделить этот источник?

Задача №7.4.45 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\rm E=15\) В, \(R=15\) Ом, \(\eta=75\%\), \(P_{max}-?\)

Решение задачи:

Коэффициент полезного действия (КПД) \(\eta\) источника тока определяют по такой формуле:

\[\eta = \frac{R}{{R + r}}\]

Здесь \(R\) — сопротивление внешней цепи, а \(r\) — внутреннее сопротивление источника тока.

Тогда справедливо:

\[\eta R + \eta r = R\]

\[\eta r = R — \eta R\]

\[\eta r = R\left( {1 — \eta } \right)\]

\[r = \frac{{R\left( {1 — \eta } \right)}}{\eta }\;\;\;\;(1)\]

Мы выразили внутреннее сопротивление источника \(r\) через известные величины. Теперь попробуем разобраться с главным вопросом задачи. Мощность во внешней цепи \(P\) можно найти по формуле:

\[P = UI\;\;\;\;(2)\]

Здесь \(U\) — напряжение на внешней цепи, которое можно найти согласно закону Ома по формуле:

\[U = {\rm E} — Ir\;\;\;\;(3)\]

Подставим выражение (3) в формулу (2):

\[P = \left( {{\rm E} — Ir} \right)I\]

Рассмотрим функцию \(P\left( I \right)\), то есть зависимость мощности от силы тока:

\[P\left( I \right) = \left( {{\rm E} — Ir} \right)I\]

Раскроем скобки, тогда:

\[P\left( I \right) = {\rm E}I — {I^2}r\;\;\;\;(4)\]

Понятно, что графиком этой функции является парабола, обращенная ветвями вниз, при этом функция достигает максимума при силе тока \(I_{max}\), равной:

\[{I_{max }} = \frac{{\rm E}}{{2r}}\;\;\;\;(5)\]

Если подставить \(I_{max}\) в (4), то получим искомое значение максимальной мощности во внешней цепи \(P_{max}\):

\[{P_{max}} = {\text{E}}{I_{max}} — I_{max}^2r\]

Учитывая (5), имеем:

\[{P_{max}} = \frac{{{{\text{E}}^2}}}{{2r}} — \frac{{{{\text{E}}^2}}}{{4r}}\]

\[{P_{max}} = \frac{{{{\text{E}}^2}}}{{4r}}\]

В полученную формулу подставим выражение (1):

\[{P_{max}} = \frac{{{{\text{E}}^2}\eta }}{{4R\left( {1 — \eta } \right)}}\]

Задача решена в общем виде, давайте теперь посчитаем численный ответ:

\[{P_{max}} = \frac{{{{15}^2} \cdot 0,75}}{{4 \cdot 15 \cdot \left( {1 — 0,75} \right)}} = 11,25\;Вт\]

Ответ: 11,25 Вт.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

7.4.44 На резисторе внешней цепи аккумулятора выделяется тепловая мощность 10 Вт
7.4.46 По линии электропередачи протяженностью в 100 км должен пройти электрический ток
7.4.47 Линия имеет сопротивление 300 Ом. Какое напряжение должен иметь генератор