Решение: Протон движется в вакууме в однородном магнитном поле с индукцией 94,2 мкТл

Условие задачи:

Протон движется в вакууме в однородном магнитном поле с индукцией 94,2 мкТл так, что вектор его скорости составляет угол 30° с направлением линий индукции магнитного поля. Определить расстояние, пройденное протоном вдоль силовых линий за три витка, если начальная скорость протона 2,5 км/с.

Задача №8.2.19 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(B=94,2\) мкТл, \(\alpha=30^\circ\), \(N=3\), \(\upsilon=2,5\) км/с, \(S-?\)

Решение задачи:

Если протон влетает в магнитное поле под некоторым углом \(\alpha\) к линиям индукции, то он будет совершать сложное движение, состоящее из:

равномерного прямолинейного движения со скоростью \(\upsilon \cdot \cos \alpha\) вдоль линий индукции магнитного поля;
равномерного движения по окружности со скоростью \(\upsilon \cdot \sin \alpha\) в плоскостях, перпендикулярных линиям индукции магнитного поля.

Два этих движения дают в сумме движение протона по так называемой винтовой линии.

Шаг винта \(h\) — это расстояние, которое пройдет протон вдоль линий индукции магнитного поля за время, равное периоду вращения протона \(T\). Поэтому:

\[h = \upsilon \cos \alpha \cdot T\;\;\;\;(1)\]

Зная скорость движения протона по окружности, можно найти период вращения протона \(T\) по формуле:

\[T = \frac{{2\pi R}}{{\upsilon \sin \alpha }}\;\;\;\;(2)\]

На протон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца \(F_Л\), которую определяет следующая формула:

\[{F_Л} = B\upsilon e\sin \alpha \;\;\;\;(3)\]

Здесь \(B\) — индукция магнитного поля, \(\upsilon\) — скорость протона, \(e\) — модуль заряда протона, \(\alpha\) — угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции.

Направление действия силы Лоренца определяется правилом левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в нее, а четыре вытянутых пальца направить по направлению движения положительного заряда (или против направления отрицательного заряда), то большой палец, оставленный на 90°, покажет направление силы Лоренца. В нашем случае (при таком направлении вектора магнитной индукции) сила Лоренца направлена влево.

Сила Лоренца \(F_Л\) сообщает протону центростремительное ускорение \(a_ц\), поэтому из второго закона Ньютона следует, что:

\[{F_Л} = {m_p}{a_ц}\;\;\;\;(4)\]

Центростремительное ускорение \(a_ц\) можно определить через скорость, равную \(\upsilon \sin \alpha\) и радиус кривизны траектории \(R\) по формуле:

\[{a_ц} = \frac{{{\upsilon ^2}{{\sin }^2}\alpha }}{R}\;\;\;\;(5)\]

Подставим (5) в (4), тогда:

\[{F_Л} = \frac{{{m_p}{\upsilon ^2}{{\sin }^2}\alpha }}{R}\;\;\;\;(6)\]

Приравняем правые части (3) и (6):

\[B\upsilon e\sin \alpha = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}{{\sin }^2}\alpha }}{R}\]

Имеем:

\[Be = \frac{{{m_p}\upsilon \sin \alpha }}{R}\]

Откуда:

\[\frac{R}{{\upsilon \sin \alpha }} = \frac{{{m_p}}}{{Be}}\]

Полученное подставим в (2), тогда:

\[T = \frac{{2\pi {m_p}}}{{Be}}\]

С учетом этого формула (1) примет вид:

\[h = \frac{{2\pi {m_p}\upsilon \cos \alpha }}{{Be}}\]

Расстояние \(S\), которое пройдет протон вдоль силовых линий магнитного поля за \(N\) витков, можно найти так:

\[S = Nh\]

Поэтому окончательно получим:

\[S = N\frac{{2\pi {m_p}\upsilon \cos \alpha }}{{Be}}\]

Масса протона \(m_e\) равна 1,672·10^-27 кг, а его заряд \(e\) равен 1,6·10^-19 Кл. Посчитаем численный ответ задачи:

\[S = 3 \cdot \frac{{2 \cdot 3,14 \cdot 1,672 \cdot {{10}^{ — 27}} \cdot 2,5 \cdot {{10}^3} \cdot \cos 30^\circ }}{{94,2 \cdot {{10}^{ — 6}} \cdot 1,6 \cdot {{10}^{ — 19}}}} = 4,52\;м\]