Решение: Расстояние между предметом и экраном равно 120 см. На каком максимальном расстоянии

Условие задачи:

Расстояние между предметом и экраном равно 120 см. На каком максимальном расстоянии от предмета следует поместить собирающую линзу с фокусным расстоянием 25 см, чтобы на экране получилось отчетливое изображение предмета?

Задача №10.5.25 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$z=120$ см, $F=25$ см, $d_{\max}-?$

Решение задачи:

Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей) и перевернутым.

Запишем формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)$

В этой формуле $F$ — фокусное расстояние линзы, знак перед ним «+», поскольку линза — собирающая, $d$ — расстояние от линзы до предмета, знак перед ним «+», поскольку предмет — действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), $f$ — расстояние от линзы до изображения, знак перед ним «+», поскольку изображение — действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей — смотрите рисунок).

Из рисунка видно, что данное в условии расстояние между предметом и экраном (изображением) $z$ можно выразить следующим образом:

$z = d + f$

Имеем:

$f = z — d\;\;\;\;(2)$

Тогда уравнение (1) с учетом выражения (2) примет вид:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{{z — d}}$

Приведем правую часть уравнения под общий знаменатель:

$\frac{1}{F} = \frac{{z — d + d}}{{d\left( {z — d} \right)}}$

$\frac{1}{F} = \frac{z}{{d\left( {z — d} \right)}}$

Перемножим «крест-накрест», раскроем скобки и перенесем все в одну сторону:

$zF = d\left( {z — d} \right)$

$zF = dz — {d^2}$

${d^2} — zd + zF = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $d$ , для его решения сначала вычислим дискриминант $D_{диск}$ :

${D_{диск}} = {z^2} — 4zF$

Дискриминант явно больше нуля (Вы можете это проверить, подставив численные значения из условия задачи). Значит:

$d = \frac{{z \pm \sqrt {{z^2} — 4zF} }}{2}$

Так как в условии просят найти максимальное расстояние от предмета до линзы, поэтому мы выбираем корень со знаком «+». Окончательно получим такое решение этой задачи в общем виде:

$d_{\max} = \frac{{z + \sqrt {{z^2} — 4zF} }}{2}$