Решение: Шарообразная капля, имеющая потенциал 2,5 В, получена в результате слияния двух

Условие задачи:

Шарообразная капля, имеющая потенциал 2,5 В, получена в результате слияния двух одинаковых капелек. Определить, до какого потенциала были заряжены мелкие капельки?

Задача №6.4.8 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\varphi=2,5\) В, \(N=2\), \(\varphi_0-?\)

Решение задачи:

Пусть \(q_0\) — заряд маленьких капель, \(q\) — заряд большой капли, которая получилась при слиянии маленьких, \(C_0\) и \(C\) — электроемкости маленьких и большой капель соответственно. Запишем формулы для определения потенциалов большой \(\varphi\) и маленьких \(\varphi_0\) капель через заряды и электроемкости:

\[\left\{ \begin{gathered}
\varphi = \frac{q}{C} \hfill \\
{\varphi _0} = \frac{{{q_0}}}{{{C_0}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим нижнее равенство на верхнее, тогда:

\[\frac{{{\varphi _0}}}{\varphi } = \frac{{{q_0} \cdot C}}{{q \cdot {C_0}}}\]

\[{\varphi _0} = \varphi \frac{{{q_0} \cdot C}}{{q \cdot {C_0}}}\;\;\;(1)\]

Понятно, что объем большой капли \(V\) равен сумме объемов \(V_0\) двух маленьких капелек. Поэтому имеет место равенство (по условию \(N=2\)):

\[V = N{V_0}\;\;\;(2)\]

Пусть радиус большой капли равен \(R\), радиус маленьких капелек — \(r\), тогда, вспомнив формулу из математики для определения объема шара, можно записать формулу (2) в следующем виде:

\[\frac{4}{3}\pi {R^3} = N \cdot \frac{4}{3}\pi {r^3}\]

\[{R^3} = N{r^3}\]

Откуда:

\[\frac{R}{r} = {N^{\frac{1}{3}}}\;\;\;(3)\]

Запишем формулы для определения электроемкостей большой \(C\) и маленьких \(C_0\) капель:

\[\left\{ \begin{gathered}
C = 4\pi {\varepsilon _0}R \hfill \\
{C_0} = 4\pi {\varepsilon _0}r \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим верхнее равенство на нижнее:

\[\frac{C}{{{C_0}}} = \frac{R}{r}\]

Если учесть ранее полученное (3), имеем:

\[\frac{C}{{{C_0}}} = {N^{\frac{1}{3}}}\;\;\;(4)\]

Из закона сохранения заряда следует, что между зарядом большой капли \(q\) и зарядами \(q_0\) маленьких капель в количестве \(N\) штук существует соотношение:

\[q = N{q_0}\]

\[\frac{{{q_0}}}{q} = \frac{1}{N}\;\;\;(5)\]

Подставим в формулу (1) выражения (4) и (5):

\[{\varphi _0} = \varphi \frac{{{N^{\frac{1}{3}}}}}{N}\]

\[{\varphi _0} = \varphi {N^{ — \frac{2}{3}}}\]

Мы получили решение задачи в общем виде. Посчитаем ответ:

\[{\varphi _0} = 2,5 \cdot {2^{ — \frac{2}{3}}} = 1,57\;В\]