Лестница массой 15 кг и длиной 3 м стоит, упираясь верхним концом в гладкую стену

Условие задачи:

Лестница массой 15 кг и длиной 3 м стоит, упираясь верхним концом в гладкую стену, а нижним – в пол под углом 60° к горизонту. На лестнице на расстоянии 1 м от её верхнего конца стоит человек массой 60 кг. Под каким углом к горизонту направлена сила, с которой пол действует на нижний конец лестницы?

Задача №3.1.22 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=15\) кг, \(L=3\) м, \(\alpha=60^\circ\), \(l=1\) м, \(M=60\) кг, \(\beta – ?\)

Решение задачи:

На лестницу действуют следующие силы: сила тяжести лестницы \(mg\), сила тяжести человека \(Mg\), сила нормальной реакции \(N_1\) в точке A и сила реакции \(N_2\) в точке O. Так как лестница находится в равновесии, то запишем первое условие равновесия (первый закон Ньютона) в проекции на обе оси и второе условие равновесия (правило моментов) относительно точки O.

\[\left\{ \begin{gathered}
{N_2} \cdot \sin \beta = mg + Mg \;\;\;\;(1)\hfill \\
{N_2} \cdot \cos \beta = {N_1} \;\;\;\;(2)\hfill \\
mg \cdot \frac{L}{2} \cdot \cos \alpha + Mg \cdot \left( {L – l} \right) \cdot \cos \alpha – {N_1} \cdot L \cdot \sin \alpha = 0 \;\;\;\;(3)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим равенства (1) и (2) друг на друга:

\[tg\beta  = \frac{{\left( {m + M} \right)g}}{{{N_1}}}\;\;\;\;(4)\]

Из равенства (3) выразим реакцию \(N_1\):

\[{N_1} = \frac{{mgL \cdot \cos \alpha  + 2Mg \cdot \left( {L – l} \right) \cdot \cos \alpha }}{{2L \cdot \sin \alpha }}\]

\[{N_1} = \frac{{\left( {mL + 2M\left( {L – l} \right)} \right)g}}{{2L \cdot tg\alpha }}\]

Полученное подставим в (4), тогда:

\[tg\beta  = \frac{{\left( {m + M} \right)g \cdot 2L \cdot tg\alpha }}{{\left( {mL + 2M\left( {L – l} \right)} \right)g}}\]

\[tg\beta  = \frac{{\left( {m + M} \right) \cdot 2L \cdot tg\alpha }}{{mL + 2M\left( {L – l} \right)}}\]

Окончательная формула примет вид:

\[\beta  = arctg\left( {\frac{{\left( {m + M} \right) \cdot 2L \cdot tg\alpha }}{{mL + 2M\left( {L – l} \right)}}} \right)\]

Посчитаем численное значение искомого угла \(\beta\):

\[\beta  = arctg\left( {\frac{{\left( {15 + 60} \right) \cdot 2 \cdot 3 \cdot tg60^\circ }}{{15 \cdot 3 + 2 \cdot 60 \cdot \left( {3 – 1} \right)}}} \right) = 70^\circ  = 1,22\;рад\]

Ответ: 1,22 рад.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

3.1.21 К стене приставлена лестница массой 60 кг. Центр тяжести лестницы находится
3.1.23 Подъемное устройство состоит из однородного стержня длиной L=2,5 м и массой m=5 кг
3.1.24 Лестница составляет с землей угол 70 градусов и опирается о вертикальную гладкую