Под каким наименьшим углом a к горизонту может стоять лестница, прислоненная

Условие задачи:

Под каким наименьшим углом \(\alpha\) к горизонту может стоять лестница, прислоненная к гладкой вертикальной стене, если коэффициент трения лестницы о пол равен \(\mu\)? Считать, что центр тяжести находится в середине лестницы.

Задача №3.1.32 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\mu\), \(\alpha-?\)

Решение задачи:

Схема к решению задачи Изобразим на схеме лестницу и все силы, приложенные к ней: силу тяжести \(mg\), силу нормальной реакции в точке O \(N_1\) и две компоненты силы реакции в точке A \(N_2\) и \(F_{тр}\).

Лестница находится в равновесии. Запишем первое условие равновесия в проекции на ось \(y\) (этого достаточно для решения задачи) и второе условие равновесия относительно точки O.

\[\left\{ \begin{gathered}
{N_2} = mg \;\;\;\;(1)\hfill \\
mg \cdot \frac{L}{2} \cdot \cos \alpha – {N_2} \cdot L \cdot \cos \alpha + {F_{тр}} \cdot L \cdot \sin \alpha = 0 \;\;\;\;(2)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Преобразуем равенство (2), чтобы выразить из него \(F_{тр}\):

\[\frac{{mg}}{2} – {N_2} + {F_{тр}} \cdot tg\alpha  = 0\]

\[{F_{тр}} = \left( {{N_2} – \frac{{mg}}{2}} \right) \cdot ctg\alpha \]

Учтём равенство (1), тогда:

\[{F_{тр}} = \left( {{N_2} – \frac{{{N_2}}}{2}} \right) \cdot ctg\alpha  = \frac{{{N_2}}}{2} \cdot ctg\alpha \]

Лестница будет оставаться в покое (нижний конец не будет проскальзывать), пока имеет место сила трения покоя, то есть выполняется неравенство:

\[{F_{тр}} \leq \mu {N_2}\]

Значит:

\[\frac{{{N_2}}}{2} \cdot ctg\alpha  \leq \mu {N_2}\]

\[ctg\alpha  \leq 2\mu \]

Ответ к этой задаче в сборнике указан через арктангенс, поэтому перейдем к тангенсу:

\[\frac{1}{{tg\alpha }} \leq 2\mu \]

\[tg\alpha  \geq \frac{1}{{2\mu }}\]

\[\alpha  \geq arctg\left( {\frac{1}{{2\mu }}} \right)\]

Минимальное значение угла \(\alpha\) соответствует случаю равенства, то есть:

\[{\alpha _{\min }} = arctg\left( {\frac{1}{{2\mu }}} \right)\]

Ответ: \(arctg\left( {\frac{1}{{2\mu }}} \right)\).

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

3.1.31 С помощью каната, перекинутого через неподвижный блок, укрепленный под потолком
3.1.33 Какой тормозящий момент относительно оси вращающегося колеса диаметра 40 см
3.1.34 На барабан лебедки диаметра 20 см намотан трос. К тросу подвесили груз массы 20 кг

Пожалуйста, поставьте оценку
( 21 оценка, среднее 4.62 из 5 )
Вы можете поделиться с помощью этих кнопок:
Комментарии: 8
  1. Иван

    А как вы так поменяли знак на противоположный в предпоследнем действии?

    1. Easyfizika (автор)

      Вы про \(\frac{1}{{tg\alpha }} \leq 2\mu \)? Так умножьте обе части на \(tg\alpha\) и поделите на \(2\mu\) (кстати, оба этих выражения точно положительные, поэтому переживать не о чем) :smile:

  2. Аноним

    из проекции сил на ось OX мы можем найти силу трения, она будет равна реакции 1 R1. но у нас не будет угла. Вы можете объяснить

    1. Easyfizika (автор)

      А силу трения можно найти гораздо легче. Для случая, когда лестница стоит под минимальным углом:\[{F_{тр}} = \mu {N_2}\]Формула (1) решения:\[{N_2} = mg\]В итоге:\[{F_{тр}} = \mu mg\]

  3. Анна

    Она проще может быть решена, гораздо. Вообще задачи всей этой подборки (спасибо за нее!) я решила проще… А сборник очень хороший, благодаря Вам разжилась книжкой.

    1. Easyfizika (автор)

      Каким же образом, откройте секрет :smile:
      Люблю таких комментаторов, которые пишут, что задачу можно решить проще (причем гораздо проще!), но путь такого простого решения не описывают, даже в общих чертах (используемые законы, принципы, “фишки”, упрощения). :grin:

  4. Даниил

    Не очень понятно 2 уравнение, по какому принципу расставляются моменты и их знаки. Почему мы взяли именно эти 3 величины?

    1. Easyfizika (автор)

      Всего на лестницу действуют 4 силы, но момент силы N1 относительно точки O равен нулю (так как плечо этой силы относительно этой точки равно нулю), поэтому в уравнении моментов присутствуют лишь три другие силы.

      Если сила “пытается” вращать тело относительно выбранной точки против часовой стрелки, то знак перед моментом будет “+”, иначе – “-“.

Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: