Решение: Алюминиевый сосуд содержит 118 г воды при температуре 20 C. Кусок железа массой

Условие задачи:

Алюминиевый сосуд содержит 118 г воды при температуре 20° C. Кусок железа массой 0,2 кг, нагретый до 75° C, опускают в сосуд. Найти установившуюся температуру, если теплоемкость сосуда 0,18 кДж/К.

Задача №5.1.25 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m_1=118\) г, \(t_1=20^\circ\) C, \(m_2=0,2\) кг, \(t_2=75^\circ\) C, \(C=0,18\) кДж/К, \(t-?\)

Решение задачи:

В начале сосуд имел температуру воды. После того, как кусок железа опустят в воду, будет происходить теплообмен между тремя телами (алюминиевым сосудом, водой и куском железа). В конце концов температуры всех трех тел станут одинаковыми и равными \(t\). Запишем уравнение теплового баланса:

\[{Q_1} + {Q_2} = {Q_3}\]

Здесь \(Q_1\) — количество теплоты, полученное сосудом при нагревании, \(Q_2\) — количество теплоты, полученное водой при нагревании, \(Q_3\) — количество теплоты, отданное куском железа при охлаждении. Распишем все количества теплоты по известным формулам. Стоит обратить внимание, что у сосуда дана теплоемкость, а не удельная теплоемкость!

\[C\left( {t — {t_1}} \right) + {c_1}{m_1}\left( {t — {t_1}} \right) = {c_2}{m_2}\left( {{t_2} — t} \right)\]

В этой формуле \(c_1\) — удельная теплоемкость воды, равная 4200 Дж/(кг·°C), \(c_2\) — удельная теплоемкость железа, равная 460 Дж/(кг·°C).

Раскроем в обеих частях равенства скобки:

\[Ct — C{t_1} + {c_1}{m_1}t — {c_1}{m_1}{t_1} = {c_2}{m_2}{t_2} — {c_2}{m_2}t\]

В левую часть перенесем все члены с множителем \(t\), чтобы вынести его за скобки, в правую часть — все оставшиеся члены.

\[t\left( {C + {c_1}{m_1} + {c_2}{m_2}} \right) = C{t_1} + {c_1}{m_1}{t_1} + {c_2}{m_2}{t_2}\]

В итоге получим такое решение задачи в общем виде:

\[t = \frac{{C{t_1} + {c_1}{m_1}{t_1} + {c_2}{m_2}{t_2}}}{{C + {c_1}{m_1} + {c_2}{m_2}}}\]

Переведём массу алюминиевого сосуда в килограммы (в систему СИ):

\[118\;г = 0,118\;кг\]

Посчитаем численный ответ к задаче:

\[t = \frac{{180 \cdot 20 + 4200 \cdot 0,118 \cdot 20 + 460 \cdot 0,2 \cdot 75}}{{180 + 4200 \cdot 0,118 + 460 \cdot 0,2}} = 26,6^\circ\;C \approx 300\;К\]