Решение: Один моль газа, имевший начальную температуру 300 К, изобарно расширился

Условие задачи:

Один моль газа, имевший начальную температуру 300 К, изобарно расширился, совершив работу 1250 Дж. Во сколько раз при этом увеличился объем газа?

Задача №5.4.20 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\nu=1\) моль, \(T_1=300\) К, \(p=const\), \(A=1250\) Дж, \(\frac{V_2}{V_1}-?\)

Решение задачи:

Работу газа \(A\) при изобарном расширении можно определить по формуле:

\[A = p\left( {{V_2} – {V_1}} \right) = p{V_2} – p{V_1}\;\;\;\;(1)\]

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для двух состояний газа – начального и конечного:

\[\left\{ \begin{gathered}
p{V_1} = \nu R{T_1} \hfill \\
p{V_2} = \nu R{T_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Тогда формулу (1) можно переписать в виде:

\[A = \nu R{T_2} – \nu R{T_1} = \nu R\left( {{T_2} – {T_1}} \right)\]

При изобарном расширении газа его температура увеличивается, то есть \({T_2} > {T_1}\). Пусть \(\Delta T\) – это величина изменения абсолютной температуры газа, тогда:

\[A = \nu R\Delta T\]

Выразим это изменение температуры \(\Delta T\), оно нам понадобится далее:

\[\Delta T = \frac{A}{{\nu R}}\;\;\;\;(2)\]

Запишем закон Гей-Люссака, поскольку в задаче идёт речь об изобарном процессе (\(p=const\)):

\[\frac{{{V_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{V_2}}}{{{T_2}}}\]

Тогда искомое отношение объемов \(\frac{V_2}{V_1}\) равно:

\[\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = \frac{{{T_2}}}{{{T_1}}}\]

Очевидно, что \({T_2} = {T_1} + \Delta T\), поэтому:

\[\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = \frac{{{T_1} + \Delta T}}{{{T_1}}} = 1 + \frac{{\Delta T}}{{{T_1}}}\]

Подставим в последнюю формулу ранее полученное выражение (2):

\[\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = 1 + \frac{A}{{\nu R{T_1}}}\]

Считаем ответ: