Решение: В сосуд с водой объемом 0,25 л при 20 C поместили 50 г расплавленного свинца

Условие задачи:

В сосуд с водой объемом 0,25 л при 20 °C поместили 50 г расплавленного свинца с температурой 350 °C. Какая температура установится в результате теплообмена в сосуде? Удельные теплоёмкости расплава и твёрдого свинца считать одинаковыми.

Задача №5.2.38 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$V_1=0,25$ л, $t_1=20^\circ$ C, $m_2=50$ г, $t_2=350^\circ$ C, $t-?$

Решение задачи:

Полностью аналогичная задача уже была представлена на сайте, правда в ней расплавленный свинец имел температуру 400 °C. Можете прорешать её после этой, дабы закрепить свои навыки.

В этой задаче нужно обязательно произвести оценку. Давайте для начала определим количество теплоты $Q_1$ , которое необходимо для нагревания воды массой $m_1$ от температуры $t_1$ до температуры кипения $t_к$ ( $t_к=100^\circ$ C). Это можно сделать по следующей формуле:

${Q_1} = {c_1}{m_1}\left( {{t_к} — {t_1}} \right)$

Удельная теплоёмкость воды $c_1$ равна 4200 Дж/(кг·°C).

Массу $m_1$ представим как произведение плотности воды $\rho$ (она равна 1000 кг/м³) на объем $V_1$ , тогда:

${Q_1} = {c_1}\rho {V_1}\left( {{t_к} — {t_1}} \right)$

Посчитаем численное значение $Q_1$ (объем при расчете мы перевели в кубические метры):

${Q_1} = 4200 \cdot 1000 \cdot 0,25 \cdot {10^{ — 3}} \cdot \left( {100 — 20} \right) = 84000\;Дж$

Так как температура расплавленного свинца $t_2$ больше температуры его плавления $t_п$ ( $t_п=327^\circ$ C), то определим количество теплоты $Q_2$ , выделяемое при охлаждении расплава свинца от температуры $t_2$ до температуры $t_п$ .

${Q_2} = {c_2}{m_2}\left( {{t_2} — {t_п}} \right)$

Удельная теплоёмкость расплава свинца (и твёрдого свинца) $c_2$ равна 130 Дж/(кг·°C).

${Q_2} = 130 \cdot 0,05 \cdot \left( {350 — 327} \right) = 149,5\;Дж$

Количество теплоты $Q_3$ , выделяемое при кристаллизации свинца массой $m_2$ , определим по формуле:

${Q_3} = \lambda {m_2}$

Удельная теплота кристаллизации (плавления) свинца $\lambda$ равна 25 кДж/кг.

${Q_3} = 25 \cdot {10^3} \cdot 0,05 = 1250\;Дж$

Количество теплоты $Q_4$ , выделяемое при охлаждении свинца массой $m_2$ от температуры $t_п$ до температуры $t_к$ , равно:

${Q_4} = {c_2}{m_2}\left( {{t_п} — {t_к}} \right)$

${Q_4} = 130 \cdot 0,05 \cdot \left( {327 — 100} \right) = 1475,5\;Дж$

Видно, что ${Q_1} > {Q_2} + {Q_3} + {Q_4}$ , значит температура теплового равновесия будет лежать в пределах от $t_1$ до $t_к$ . Запишем уравнение теплового баланса:

${Q_5} = {Q_2} + {Q_3} + {Q_6}$

Здесь $Q_5$ — количество теплоты, необходимое для нагревания воды массой $m_1$ от температуры $t_1$ до температуры $t$ ; $Q_6$ — количество теплоты, выделяемое при охлаждении свинца массой $m_2$ от температуры $t_п$ до температуры $t$ . Тогда:

${c_1}{m_1}\left( {t — {t_1}} \right) = {c_2}{m_2}\left( {{t_2} — {t_п}} \right) + \lambda {m_2} + {c_2}{m_2}\left( {{t_п} — t} \right)$

${c_1}{m_1}\left( {t — {t_1}} \right) = {c_2}{m_2}\left( {{t_2} — t} \right) + \lambda {m_2}$

Раскроем скобки:

${c_1}{m_1}t — {c_1}{m_1}{t_1} = {c_2}{m_2}{t_2} — {c_2}{m_2}t + \lambda {m_2}$

Все члены с множителем $t$ перенесем в левую сторону, вынесем его за скобки, остальные перенесем в правую.

$t\left( {{c_1}{m_1} + {c_2}{m_2}} \right) = {c_1}{m_1}{t_1} + {c_2}{m_2}{t_2} + \lambda {m_2}$

$t = \frac{{{c_1}{m_1}{t_1} + {c_2}{m_2}{t_2} + \lambda {m_2}}}{{{c_1}{m_1} + {c_2}{m_2}}}$

Массу $m_1$ представим как произведение плотности воды $\rho$ на объем $V_1$ , как это уже было сделано выше:

$t = \frac{{{c_1}\rho {V_1}{t_1} + {c_2}{m_2}{t_2} + \lambda {m_2}}}{{{c_1}\rho {V_1} + {c_2}{m_2}}}$

Переведём некоторые величины в систему СИ:

$0,25\;л = 0,25 \cdot {10^{ — 3}}\;м^3$

$50\;г = 0,05\;кг$

Численно температура $t$ равна:

$t = \frac{{4200 \cdot 1000 \cdot 0,25 \cdot {{10}^{ — 3}} \cdot 20 + 130 \cdot 0,05 \cdot 350 + 25 \cdot {{10}^3} \cdot 0,05}}{{4200 \cdot 1000 \cdot 0,25 \cdot {{10}^{ — 3}} + 130 \cdot 0,05}} = 23,2^\circ\;C = 296,7\;К$