Решение: В теплоизолированный сосуд малой теплоёмкости налили 0,4 кг воды при 293 К и положили

Условие задачи:

В теплоизолированный сосуд малой теплоёмкости налили 0,4 кг воды при 293 К и положили 0,1 кг льда при температуре 256 К. Сколько воды будет в калориметре после установления теплового равновесия?

Задача №5.2.18 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m_1=0,4\) кг, \(T_1=293\) К, \(m_2=0,1\) кг, \(T_2=256\) К, \(m-?\)

Решение задачи:

Для начала произведём следующую оценку. Определим количество теплоты \(Q_1\), выделяемое при охлаждении воды массой \(m_1\) от температуры \(T_1\) до температуры плавления льда \(T_п\) (\(T_п=273\) К), по следующей формуле:

\[{Q_1} = {c_1}{m_1}\left( {{T_1} — {T_п}} \right)\]

Удельная теплоёмкость воды \(c_1\) равна 4200 Дж/(кг·°C).

\[{Q_1} = 4200 \cdot 0,4 \cdot \left( {293 — 273} \right) = 33600\;Дж = 33,6\;кДж\]

Далее определим количество теплоты \(Q_2\), необходимое для нагревания льда массой \(m_2\) от температуры \(T_2\) до температуры плавления льда \(T_п\), по аналогичной формуле:

\[{Q_2} = {c_2}{m_2}\left( {{T_п} — {T_2}} \right)\]

Удельная теплоёмкость льда \(c_2\) равна 2100 Дж/(кг·°C).

\[{Q_2} = 2100 \cdot 0,1 \cdot \left( {273 — 256} \right) = 3570\;Дж = 3,57\;кДж\]

В конце концов узнаем количество теплоты \(Q_3\), необходимое для плавления льда массой \(m_2\):

\[{Q_3} = \lambda {m_2}\]

Удельная теплота плавления льда \(\lambda\) равна 330 кДж/кг.

\[{Q_3} = 330 \cdot {10^3} \cdot 0,1 = 33000\;Дж = 33\;кДж\]

Так как видно, что \({Q_1} > {Q_2}\), значит лёд будет плавиться, но поскольку \({Q_1} < {Q_2} + {Q_3}\), значит не весь лёд растает. Запишем уравнение теплового баланса:

\[{Q_1} = {Q_2} + {Q_4}\]

Здесь \(Q_4\) — количество теплоты, необходимое для плавления части льда массой \(\Delta m\). Тогда имеем:

\[{c_1}{m_1}\left( {{T_1} — {T_п}} \right) = {c_2}{m_2}\left( {{T_п} — {T_2}} \right) + \lambda \Delta m\]

Выразим массу растаявшего льда \(\Delta m\):

\[\Delta m = \frac{{{c_1}{m_1}\left( {{T_1} — {T_п}} \right) — {c_2}{m_2}\left( {{T_п} — {T_2}} \right)}}{\lambda }\;\;\;\;(1)\]

Искомую массу воды \(m\) после установления теплового равновесия можно найти по формуле:

\[m = {m_1} + \Delta m\]

Учитывая выражения (1), получим решение задачи в общем виде:

\[m = {m_1} + \frac{{{c_1}{m_1}\left( {{T_1} — {T_п}} \right) — {c_2}{m_2}\left( {{T_п} — {T_2}} \right)}}{\lambda }\]

Посчитаем ответ:

\[m = 0,4 + \frac{{4200 \cdot 0,4 \cdot \left( {293 — 273} \right) — 2100 \cdot 0,1 \cdot \left( {273 — 256} \right)}}{{330 \cdot {{10}^3}}} = 0,491\;кг = 491\;г\]