Решение: Виток площадью 50 см2 замкнут на конденсатор емкостью 20 мкФ. Плоскость витка

Условие задачи:

Виток площадью 50 см² замкнут на конденсатор емкостью 20 мкФ. Плоскость витка перпендикулярна магнитному полю. Определить скорость изменения магнитного поля, если заряд на конденсаторе равен 1 нКл.

Задача №8.4.43 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$S=50$ см² , $C=20$ мкФ, $\beta=90^\circ$ , $q=1$ нКл, $\frac{\Delta B}{\Delta t}-?$

Решение задачи:

Если виток замкнут на конденсатор, значит напряжение на витке (или ЭДС индукции) равно напряжению на конденсаторе:

${{\rm E}_i} = U\;\;\;\;(1)$

Напряжение на конденсаторе легко определить, зная емкость конденсатора $C$ и заряд на его пластинах $q$ , по формуле:

$U = \frac{q}{C}\;\;\;\;(2)$

В общем случае магнитный поток $\Phi$ через некоторую плоскую поверхность, помещённую в однородном магнитном поле, можно определить по такой формуле:

$\Phi = BS\cos \alpha$

В этой формуле $B$ — индукция магнитного поля, $S$ — площадь поверхности, через которую определяется магнитный поток, $\alpha$ — угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции.

Угол $\alpha$ связан с данным в условии углом $\beta$ по формуле:

$\alpha = 90^\circ — \beta$

Тогда:

$\Phi = BS\cos \left( {90^\circ — \beta } \right)$

Запишем эту формулу для определения начального и конечного магнитного потока $\Phi_1$ и $\Phi_2$ :

$\left\{ \begin{gathered} {\Phi _1} = {B_1}S\cos \left( {{90^\circ } — \beta } \right) \hfill \\ {\Phi _2} = {B_2}S\cos \left( {{90^\circ } — \beta } \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Очевидно, что изменение магнитного потока $\Delta \Phi$ равно:

$\Delta \Phi = {\Phi _1} — {\Phi _2}$

$\Delta \Phi = \left( {{B_1} — {B_2}} \right)S\cos \left( {{90^\circ } — \beta } \right)$

$\Delta \Phi = \Delta BS\cos \left( {{90^\circ } — \beta } \right)\;\;\;\;(3)$

Понятно, что из-за изменения магнитного потока в рамке будет возникать ЭДС индукции. Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока. Поэтому:

${{\rm E}_i} = \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}$

Подставим в полученную формулу выражение (3):

${{\rm E}_i} = \frac{{\Delta BS\cos \left( {90^\circ — \beta } \right)}}{{\Delta t}}\;\;\;\;(4)$

Теперь, подставим (2) и (4) в равенство (1):

$\frac{q}{C} = \frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}S\cos \left( {90^\circ — \beta } \right)$

Откуда искомая скорость изменения индукции магнитного поля $\frac{\Delta B}{\Delta t}$ равна:

$\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}} = \frac{q}{{SC\cos \left( {90^\circ — \beta } \right)}}$

Посчитаем численный ответ:

$\frac{{\Delta B}}{{\Delta t}} = \frac{{{{10}^{ — 9}}}}{{50 \cdot {{10}^{ — 4}} \cdot 20 \cdot {{10}^{ — 6}} \cdot \cos \left( {90^\circ — 90^\circ } \right)}} = 0,01\;Тл/с$