Решение: Во сколько раз изменится радиус траектории движения заряженной частицы в циклотроне

Условие задачи:

Во сколько раз изменится радиус траектории движения заряженной частицы в циклотроне при увеличении её энергии в 4 раза?

Задача №8.2.7 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(W_2=4W_1\), \(\frac{R_2}{R_1}-?\)

Решение задачи:

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца \(F_Л\), которую определяет следующая формула:

\[{F_Л} = B\upsilon q\sin \alpha \;\;\;\;(1)\]

Здесь \(B\) — индукция магнитного поля, \(\upsilon\) — скорость частицы, \(q\) — модуль заряда частицы, \(\alpha\) — угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции.

Направление действия силы Лоренца определяется правилом левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в нее, а четыре вытянутых пальца направить по направлению движения положительного заряда (или против направления отрицательного заряда), то большой палец, оставленный на 90°, покажет направление силы Лоренца.

В нашем случае для положительно заряженной частицы и при таком направлении вектора магнитной индукции сила Лоренца направлена вправо.

Сила Лоренца \(F_Л\) сообщает частице центростремительное ускорение \(a_ц\), поэтому из второго закона Ньютона следует, что:

\[{F_Л} = m{a_ц}\;\;\;\;(2)\]

Центростремительное ускорение \(a_ц\) можно определить через скорость \(\upsilon\) и радиус кривизны траектории \(R\) по формуле:

\[{a_ц} = \frac{{{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(3)\]

Подставим (3) в (2), тогда:

\[{F_Л} = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(4)\]

Приравняем правые части (1) и (4):

\[B\upsilon q\sin \alpha = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{R}\]

Имеем:

\[Bq\sin \alpha = \frac{{m\upsilon }}{R}\]

\[R = \frac{{m\upsilon }}{{Bq\sin \alpha }}\;\;\;\;(5)\]

Кинетическая энергия заряженной частицы \(W\) равна:

\[W = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2}\]

Выразим из этой формулы неизвестную скорость частицы \(\upsilon\):

\[\upsilon = \sqrt {\frac{{2W}}{{m}}} \;\;\;\;(6)\]

Осталось только подставить выражение (6) в формулу (5):

\[R = \frac{{m}}{{Bq\sin \alpha }}\sqrt {\frac{{2W}}{{m}}} \]

\[R = \frac{{\sqrt {2Wm} }}{{Bq\sin \alpha }}\]

Запишем формулы для определения радиуса кривизны траектории частицы при энергиях \(W_1\) и \(W_2\):

\[\left\{ \begin{gathered}
{R_1} = \frac{{\sqrt {2{W_1}m} }}{{Bq\sin \alpha }} \hfill \\
{R_2} = \frac{{\sqrt {2{W_2}m} }}{{Bq\sin \alpha }} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Тогда отношение \(\frac{R_2}{R_1}\) равно:

\[\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} = \frac{{\sqrt {{W_2}} }}{{\sqrt {{W_1}} }}\]

\[\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} = \sqrt {\frac{{{W_2}}}{{{W_1}}}} \]

По условию энергия увеличится в 4 раза, то есть \(W_2=4W_1\), поэтому:

\[\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} = \sqrt {\frac{{4{W_1}}}{{{W_1}}}} = 2\]