Решение: За какое время в препарате, содержащем 4*10^9 ядер с периодом полураспада 100 лет

Условие задачи:

За какое время в препарате, содержащем 4·10⁹ ядер с периодом полураспада 100 лет, распадается 3·10⁹ ядер атомов?

Задача №11.8.2 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(N_0=4 \cdot 10^9\), \(T=100\) лет, \(\Delta N=3 \cdot 10^9\), \(t-?\)

Решение задачи:

Согласно закону радиоактивного распада, число нераспавшихся ядер \(N\), содержащихся в образце в произвольный момент времени \(t\), можно определить через начальное число ядер в образце \(N_0\) и период полураспада \(T\), по следующей зависимости:

\[N = {N_0} \cdot {2^{ — \frac{t}{T}}}\;\;\;\;(1)\]

Число распавшихся ядер \(\Delta N\), очевидно, можно найти следующим образом:

\[\Delta N = {N_0} — N\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (1) в формулу (2), тогда:

\[\Delta N = {N_0} — {N_0} \cdot {2^{ — \frac{t}{T}}}\]

\[\Delta N = {N_0}\left( {1 — {2^{ — \frac{t}{T}}}} \right)\]

Тогда имеем:

\[\frac{{\Delta N}}{{{N_0}}} = 1 — {2^{ — \frac{t}{T}}}\]

\[{2^{ — \frac{t}{T}}} = 1 — \frac{{\Delta N}}{{{N_0}}}\]

Прологарифмируем обе части это уравнения:

\[\ln {2^{ — \frac{t}{T}}} = \ln \left( {1 — \frac{{\Delta N}}{{{N_0}}}} \right)\]

\[ — \frac{t}{T}\ln 2 = \ln \left( {1 — \frac{{\Delta N}}{{{N_0}}}} \right)\]

В итоге мы получим такую окончательную формулу:

\[t = \frac{{ — T \cdot \ln \left( {1 — \frac{{\Delta N}}{{{N_0}}}} \right)}}{{\ln 2}}\]

Подставим данные задачи в полученную формулу и произведем расчет численного ответа (период полураспада мы не переводим в СИ, поэтому и ответ получаем в тех же единицах, что и период полураспада):

\[t = \frac{{ — 100 \cdot \ln \left( {1 — \frac{{3 \cdot {{10}^9}}}{{4 \cdot {{10}^9}}}} \right)}}{{\ln 2}} = 200\;лет\]