Решение: Через какое время распадается 80% атомов радиоактивного изотопа хрома 24Cr51

Условие задачи:

Через какое время распадается 80% атомов радиоактивного изотопа хрома \(_{24}^{51}Cr\), если его период полураспада 27,8 суток?

Задача №11.8.1 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\alpha=0,8\), \(_{24}^{51}Cr\), \(T=27,8\) сут, \(t-?\)

Решение задачи:

Согласно закону радиоактивного распада, число нераспавшихся ядер \(N\), содержащихся в образце в произвольный момент времени \(t\), можно определить через начальное число ядер в образце \(N_0\) и период полураспада \(T\), по следующей зависимости:

\[N = {N_0} \cdot {2^{ — \frac{t}{T}}}\;\;\;\;(1)\]

Число распавшихся ядер \(\Delta N\), очевидно, можно найти следующим образом:

\[\Delta N = {N_0} — N\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (1) в формулу (2), тогда:

\[\Delta N = {N_0} — {N_0} \cdot {2^{ — \frac{t}{T}}}\]

\[\Delta N = {N_0}\left( {1 — {2^{ — \frac{t}{T}}}} \right)\;\;\;\;(3)\]

Понятно, что долю распавшихся ядер \(\alpha\) можно определить по формуле:

\[\alpha = \frac{{\Delta N}}{{{N_0}}}\;\;\;\;(4)\]

Подставим выражение (3) в формулу (4), тогда:

\[\alpha = 1 — {2^{ — \frac{t}{T}}}\]

\[{2^{ — \frac{t}{T}}} = 1 — \alpha \]

Прологарифмируем обе части это уравнения:

\[\ln {2^{ — \frac{t}{T}}} = \ln \left( {1 — \alpha } \right)\]

\[ — \frac{t}{T}\ln 2 = \ln \left( {1 — \alpha } \right)\]

В итоге мы получим такую окончательную формулу:

\[t = \frac{{ — T \cdot \ln \left( {1 — \alpha } \right)}}{{\ln 2}}\]

Подставим данные задачи в полученную формулу и произведем расчет численного ответа (период полураспада мы не переводим в СИ, поэтому и ответ получаем в тех же единицах, что и период полураспада):

\[t = \frac{{ — 27,8 \cdot \ln \left( {1 — 0,8} \right)}}{{\ln 2}} = 64,55\;суток\]