Решение: За 10 суток из 1000 ядер радиоактивного изотопа распалось 750 ядер. Найти период

Условие задачи:

За 10 суток из 1000 ядер радиоактивного изотопа распалось 750 ядер. Найти период полураспада изотопа.

Задача №11.8.17 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(t=10\) сут, \(N_0=1000\), \(\Delta N=750\), \(T-?\)

Решение задачи:

Согласно закону радиоактивного распада, число нераспавшихся ядер \(N\), содержащихся в образце в произвольный момент времени \(t\), можно определить через начальное число ядер в образце \(N_0\) и период полураспада \(T\), по следующей зависимости:

\[N = {N_0} \cdot {2^{ — \frac{t}{T}}}\;\;\;\;(1)\]

Число распавшихся ядер \(\Delta N\), очевидно, можно найти следующим образом:

\[\Delta N = {N_0} — N\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (1) в формулу (2), тогда:

\[\Delta N = {N_0} — {N_0} \cdot {2^{ — \frac{t}{T}}}\]

\[\Delta N = {N_0}\left( {1 — {2^{ — \frac{t}{T}}}} \right)\]

Тогда имеем:

\[\frac{{\Delta N}}{{{N_0}}} = 1 — {2^{ — \frac{t}{T}}}\]

\[{2^{ — \frac{t}{T}}} = 1 — \frac{{\Delta N}}{{{N_0}}}\]

Прологарифмируем обе части это уравнения:

\[\ln {2^{ — \frac{t}{T}}} = \ln \left( {1 — \frac{{\Delta N}}{{{N_0}}}} \right)\]

\[ — \frac{t}{T}\ln 2 = \ln \left( {1 — \frac{{\Delta N}}{{{N_0}}}} \right)\]

В итоге мы получим такую окончательную формулу:

\[T = \frac{{ — t\ln 2}}{{\ln \left( {1 — \frac{{\Delta N}}{{{N_0}}}} \right)}}\]

Подставим данные задачи в полученную формулу и произведем расчет численного ответа (время \(t\) мы не переводим в СИ, поэтому и ответ получаем в тех же единицах, что и время \(t\)):

\[T = \frac{{ — 10 \cdot \ln 2}}{{\ln \left( {1 — \frac{{750}}{{1000}}} \right)}} = 5\;сут = 120\;ч\]