Условие задачи:

До какой температуры нагревается нихромовая электрогрелка, если известно, что ток, проходящий через обмотку в момент ее включения (\(t_1=20^\circ\) C), в 1,05 раза превышает рабочий ток?

Задача №7.1.22 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(t_1=20^\circ\) C, \(I_1=1,05I_2\), \(t_2-?\)

Решение задачи:

Ток, проходящий через электрогрелку, нагревает обмотку, из-за чего сопротивление обмотки увеличивается, а ток — уменьшается (то есть ток в момент включения больше). Понятно, что электрогрелка работает от одного и того же источника, поэтому запишем следствие из закона Ома для участка цепи для момента включения и для момента работы:

\[\left\{ \begin{gathered}
U = {I_1}{R_1} \hfill \\
U = {I_2}{R_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Здесь \(I_1\) и \(R_1\) — ток и сопротивление в момент включения, \(I_2\) и \(R_2\) — рабочие ток и сопротивление. Тогда:

\[{I_1}{R_1} = {I_2}{R_2}\]

\[\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} = \frac{{{I_1}}}{{{I_2}}}\]

По условию ток, проходящий через обмотку в момент ее включения, в 1,05 раза превышает рабочий ток (\(I_1=1,05I_2\)), поэтому:

\[\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} = 1,05\;\;\;\;(1)\]

Теперь будем разбираться с сопротивлением обмотки. Известно, что зависимость сопротивления проводника от температуры описывается следующей формулой:

\[R = {R_0}\left( {1 + \alpha t} \right)\]

Здесь \(R\) — искомое сопротивление при температуре \(t\), \(R_0\) — сопротивление при температуре \(t_0\) (в данном случае \(t_0=0^\circ\) C), \(\alpha\) — температурный коэффициент сопротивления, равный для нихрома 0,0002 1/°C, \(t\) — температура (в градусах Цельсия), при которой нужно найти сопротивление проводника.

Известно, что сопротивление обмотки при температуре \(t_1\) равно \(R_1\), а при температуре \(t_2\) равно \(R_2\), поэтому можем получить такую систему:

\[\left\{ \begin{gathered}
{R_1} = {R_0}\left( {1 + \alpha {t_1}} \right) \hfill \\
{R_2} = {R_0}\left( {1 + \alpha {t_2}} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим верхнее равенство на нижнее, далее перемножим «крест-накрест»:

\[\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} = \frac{{1 + \alpha {t_1}}}{{1 + \alpha {t_2}}}\]

\[{R_1}\left( {1 + \alpha {t_2}} \right) = {R_2}\left( {1 + \alpha {t_1}} \right)\]

Разделим обе части полученного равенства на \(R_1\), тогда:

\[1 + \alpha {t_2} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\left( {1 + \alpha {t_1}} \right)\]

Вычтем из обеих частей равенства единицу:

\[\alpha {t_2} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\left( {1 + \alpha {t_1}} \right) — 1\]

И теперь осталось только разделить обе части на \(\alpha\):

\[{t_2} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\left( {\frac{1}{\alpha } + {t_1}} \right) — \frac{1}{\alpha }\]

Если учесть ранее полученное равенство (1), получим:

\[{t_2} = 1,05\left( {\frac{1}{\alpha } + {t_1}} \right) — \frac{1}{\alpha }\]

Подставим исходные данные в формулу и посчитаем ответ:

\[{t_2} = 1,05\left( {\frac{1}{{0,0002}} + 20} \right) — \frac{1}{{0,0002}} = 271^\circ\;C = 544\;К\]

Ответ: 544 К.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

7.1.21 При нагревании металлического проводника от 0 до 250 C его сопротивление увеличилось
7.1.23 Плотность тока в проводнике сечением 0,5 мм2 равна 3,2 мА/м2. Сколько электронов
7.1.24 По проводнику с поперечным сечением 0,5 см2 течет ток силой 3 А. Найти среднюю скорость