Решение: ЭДС батареи аккумуляторов 12 В. Сила тока короткого замыкания 5 А. Какую наибольшую

Условие задачи:

ЭДС батареи аккумуляторов 12 В. Сила тока короткого замыкания 5 А. Какую наибольшую мощность можно получить во внешней цепи, соединенной с такой батареей?

Задача №7.4.37 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\rm E=12\) В, \(I_{кз}=5\) А, \(P_{max}-?\)

Решение задачи:

Так как в условии дана сила тока при коротком замыкании \(I_{кз}\) и ЭДС источника \(\rm E\), то мы можем определить внутреннее сопротивление источника \(r\):

\[{I_{кз}} = \frac{{\rm E}}{r}\;\;\;\;(1)\]

\[r = \frac{{\rm E}}{{{I_{кз}}}}\;\;\;\;(2)\]

Эти формулы пригодятся нам при дальнейшем решении.

Полезную мощность \(P\), то есть мощность, которая выделяется на внешней цепи, можно найти по формуле:

\[P = UI\;\;\;\;(3)\]

Здесь \(U\) — напряжение на внешней цепи, которое можно найти согласно закону Ома по формуле:

\[U = {\rm E} — Ir\;\;\;\;(4)\]

Подставим выражение (4) в формулу (3):

\[P = \left( {{\rm E} — Ir} \right)I\]

Рассмотрим функцию \(P\left( I \right)\), то есть зависимость мощности от силы тока:

\[P\left( I \right) = \left( {{\rm E} — Ir} \right)I\]

Раскроем скобки, тогда:

\[P\left( I \right) = {\rm E}I — {I^2}r\;\;\;\;(5)\]

Понятно, что графиком этой функции является парабола, обращенная ветвями вниз, при этом функция достигает максимума при силе тока \(I_{max}\), равной:

\[{I_{max }} = \frac{{\rm E}}{{2r}}\]

Учитывая (1), имеем:

\[{I_{max}} = \frac{{{I_{кз}}}}{2}\]

Если подставить \(I_{max}\) в (5), то получим искомое значение максимальной мощности во внешней цепи \(P_{max}\):

\[{P_{max}} = {\text{E}}{I_{max}} — I_{max}^2r\]

\[P_{max} = {\text{E}}\frac{{{I_{кз}}}}{2} — \frac{{I_{кз}^2}}{4}r\]

Учитывая выражение (2), имеем:

\[P_{max} = {\text{E}}\frac{{{I_{кз}}}}{2} — \frac{{I_{кз}^2}}{4} \cdot \frac{{\rm E}}{{{I_{кз}}}}\]

\[{P_{max}} = \frac{{{\text{E}}{I_{кз}}}}{4}\]

Посчитаем ответ:

\[{P_{max}} = \frac{{12 \cdot 5}}{4} = 15\;Вт\]