Условие задачи:

Электрон, прошедший некоторую разность потенциалов, влетает в однородное магнитное поле с индукцией 0,01 Тл перпендикулярно магнитным силовым линиям. В магнитном поле он движется по окружности, радиус которой 100 мм. Определить разность потенциалов, которую прошел электрон.

Задача №8.2.21 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$B=0,01$ Тл, $\alpha=90^\circ$, $R=100$ мм, $U-?$

Решение задачи:

Чтобы найти какой разностью потенциалов $U$ был ускорен электрон, запишем закон сохранения энергии:

$$eU = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}$$

Откуда:

$$U = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{{2e}} \;\;\;\;(1)$$

Масса электрона $m_e$ равна 9,1·10^-31 кг, а модуль его заряда $e$ равен 1,6·10^-19 Кл.

На электрон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца $F_Л$, которую определяет следующая формула:

$${F_Л} = B\upsilon e\sin \alpha \;\;\;\;(2)$$

Здесь $B$ — индукция магнитного поля, $\upsilon$ — скорость электрона, $e$ — модуль заряда электрона, $\alpha$ — угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции.

Направление действия силы Лоренца определяется правилом левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в нее, а четыре вытянутых пальца направить по направлению движения положительного заряда (или против направления отрицательного заряда, как в нашем случае), то большой палец, оставленный на 90°, покажет направление силы Лоренца. В нашем случае (при таком направлении вектора магнитной индукции) сила Лоренца направлена влево.

Сила Лоренца $F_Л$ сообщает электрону центростремительное ускорение $a_ц$, поэтому из второго закона Ньютона следует, что:

$${F_Л} = {m_e}{a_ц}\;\;\;\;(3)$$

Центростремительное ускорение $a_ц$ можно определить через скорость $\upsilon$ и радиус кривизны траектории $R$ по формуле:

$${a_ц} = \frac{{{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(4)$$

Подставим (4) в (3), тогда:

$${F_Л} = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(5)$$

Приравняем правые части (2) и (5):

$$B\upsilon e\sin \alpha = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{R}$$

Имеем:

$$Be\sin \alpha = \frac{{{m_e}\upsilon }}{R}$$

Откуда скорость электрона $\upsilon$ равна:

$$\upsilon = \frac{{BeR\sin \alpha }}{{{m_e}}}$$

Полученное выражение подставим в формулу (1):

$$U = \frac{{{m_e}}}{{2e}} \cdot \frac{{{B^2}{e^2}{R^2}{{\sin }^2}\alpha }}{{m_e^2}}$$

$$U = \frac{{{B^2}e{R^2}{{\sin }^2}\alpha }}{{2{m_e}}}$$

Задача решена в общем виде, посчитаем численный ответ задачи:

$$U = \frac{{{{0,01}^2} \cdot 1,6 \cdot {{10}^{ — 19}} \cdot {{0,1}^2} \cdot {{\sin }^2}90^\circ }}{{2 \cdot 9,1 \cdot {{10}^{ — 31}}}} = 87912,1\;В \approx 87,9\;кВ$$

Ответ: 87,9 кВ.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

8.2.20 Электрон, движущийся со скоростью 10^7 м/с, влетает в однородное магнитное поле
8.2.22 Если конденсатор с расстоянием между пластинами 1 см определенным образом
8.2.23 Электрон движется в магнитном поле с индукцией 2 мТл по винтовой линии радиусом