Решение: Определить количество электрической энергии, перешедшей в тепло при соединении одноименно

Условие задачи:

Определить количество электрической энергии, перешедшей в тепло при соединении одноименно заряженных обкладок конденсаторов электроемкостью 2 и 0,5 мкФ, заряженных до напряжений 100 и 50 В, соответственно.

Задача №6.4.57 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(C_1=2\) мкФ, \(C_2=0,5\) мкФ, \(U_1=100\) В, \(U_2=50\) В, \(Q-?\)

Решение задачи:

Обратимся к закону сохранения энергии, согласно которому количество теплоты \(Q\) можно определить как разность начальной \(W_1\) и конечной \(W_2\) суммарной электрической энергии конденсаторов, то есть:

\[Q = {W_1} — {W_2}\;\;\;\;(1)\]

Начальную энергию \(W_1\) двух заряженных конденсаторов легко определить по такой формуле (это просто сумма двух энергий заряженных конденсаторов):

\[{W_1} = \frac{{{C_1}U_1^2}}{2} + \frac{{{C_2}U_2^2}}{2}\;\;\;\;(2)\]

Чтобы найти конечную энергию двух конденсаторов \(W_2\), нужно воспользоваться законом сохранения заряда. Пусть \(q_{01}\) и \(q_{02}\) — начальные заряды первого и второго конденсаторов соответственно, а \(q_{1}\) и \(q_{2}\) — конечные заряды. Тогда должно выполняться равенство:

\[{q_{01}} + {q_{02}} = {q_1} + {q_2}\]

После соединения одноименно заряженных обкладок напряжение на конденсаторах станет одинаковым и равным некоторому \(U\). Последнее равенство можно записать в ином виде, если заряд выразить как произведение электроемкости на напряжение:

\[{C_1}{U_1} + {C_2}{U_2} = {C_1}U + {C_2}U\]

\[{C_1}{U_1} + {C_2}{U_2} = \left( {{C_1} + {C_2}} \right)U\]

\[U = \frac{{{C_1}{U_1} + {C_2}{U_2}}}{{{C_1} + {C_2}}}\;\;\;\;(3)\]

Конечную энергию конденсаторов можно найти по формуле:

\[{W_2} = \frac{{{C_1}{U^2}}}{2} + \frac{{{C_2}{U^2}}}{2}\]

\[{W_2} = \frac{{\left( {{C_1} + {C_2}} \right){U^2}}}{2}\;\;\;\;(4)\]

Подставим (4) в (3), тогда:

\[{W_2} = \frac{{\left( {{C_1} + {C_2}} \right) \cdot {{\left( {{C_1}{U_1} + {C_2}{U_2}} \right)}^2}}}{{2 \cdot {{\left( {{C_1} + {C_2}} \right)}^2}}}\]

\[{W_2} = \frac{{{{\left( {{C_1}{U_1} + {C_2}{U_2}} \right)}^2}}}{{2 \cdot \left( {{C_1} + {C_2}} \right)}}\;\;\;\;(5)\]

Подставим теперь (2) и (5) в (1), тогда получим:

\[Q = \frac{{{C_1}U_1^2}}{2} + \frac{{{C_2}U_2^2}}{2} — \frac{{{{\left( {{C_1}{U_1} + {C_2}{U_2}} \right)}^2}}}{{2 \cdot \left( {{C_1} + {C_2}} \right)}}\]

В принципе задача уже решена, но хочется привести ответ к более красивому виду, поэтому приведем под общий знаменатель:

\[Q = \frac{{{C_1}U_1^2 \cdot \left( {{C_1} + {C_2}} \right) + {C_2}U_2^2 \cdot \left( {{C_1} + {C_2}} \right) — {{\left( {{C_1}{U_1} + {C_2}{U_2}} \right)}^2}}}{{2 \cdot \left( {{C_1} + {C_2}} \right)}}\]

Раскроем скобки в числителе:

\[Q = \frac{{C_1^2U_1^2 + {C_1}{C_2}U_1^2 + {C_1}{C_2}U_2^2 + C_2^2U_2^2 — C_1^2U_1^2 — 2{C_1}{C_2}{U_1}{U_2} — C_2^2U_2^2}}{{2 \cdot \left( {{C_1} + {C_2}} \right)}}\]

\[Q = \frac{{{C_1}{C_2}U_1^2 + {C_1}{C_2}U_2^2 — 2{C_1}{C_2}{U_1}{U_2}}}{{2 \cdot \left( {{C_1} + {C_2}} \right)}}\]

\[Q = \frac{{{C_1}{C_2}\left( {U_1^2 — 2{U_1}{U_2} + U_2^2} \right)}}{{2 \cdot \left( {{C_1} + {C_2}} \right)}}\]

\[Q = \frac{{{C_1}{C_2}{{\left( {{U_1} — {U_2}} \right)}^2}}}{{2 \cdot \left( {{C_1} + {C_2}} \right)}}\]

Смотрите какую замечательную формулу мы поучили! Пришло время посчитать ответ:

\[Q = \frac{{2 \cdot {{10}^{ — 6}} \cdot 0,5 \cdot {{10}^{ — 6}} \cdot {{\left( {100 — 50} \right)}^2}}}{{2 \cdot \left( {2 \cdot {{10}^{ — 6}} + 0,5 \cdot {{10}^{ — 6}}} \right)}} = 0,0005\;Дж = 0,5\;мДж\]