Решение: На зажженную спиртовку с КПД 60% поставили сосуд с 500 г воды при 20 C. Через какое

Условие задачи:

На зажженную спиртовку с КПД 60% поставили сосуд с 500 г воды при 20° C. Через какое время выкипит 20 г воды, если в спиртовке за минуту сгорает 4 г спирта?

Задача №5.1.36 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\eta=60\%\), \(m_1=500\) г, \(t_1=20^\circ\) C, \(\Delta m=20\) г, \(m_0=4\) г, \(\tau_0=1\) мин, \(\tau-?\)

Решение задачи:

Коэффициент полезного действия \(\eta\) (КПД) равен отношению полезной работы \(A_п\) к затраченной работе \(A_з\).

\[\eta = \frac{{{A_п}}}{{{A_з}}}\;\;\;\;(1)\]

Полезная работа спиртовки \(A_п\) равна сумме количества теплоты \(Q_1\), которое требуется для нагревания воды массой \(m_1\) от температуры \(t_1\) до температуры кипения \(t_к\) (\(t_к=100^\circ\) C), и количества теплоты \(Q_2\), которое нужно для испарения воды массой \(\Delta m\).

\[{A_п} = {Q_1} + {Q_2}\]

Распишем количества теплоты \(Q_1\) и \(Q_2\) по известным формулам.

\[{A_п} = c{m_1}\left( {{t_к} — {t_1}} \right) + L\Delta m\;\;\;\;(2)\]

Удельная теплоёмкость воды \(c\) равна 4200 Дж/(кг·°C), удельная теплота парообразования воды \(L\) равна 2,26 МДж/кг.

Затраченная работа \(A_з\) равна количеству теплоты, которое выделяется при сгорании спирта некоторой массы \(m_2\).

\[{A_з} = q{m_2}\]

Удельная теплота сгорания спирта \(q\) равна 29 МДж/кг.

Если за единицу времени сгорает одинаковое количество спирта, то справедливо такое равенство:

\[\frac{{{m_0}}}{{{\tau _0}}} = \frac{{{m_2}}}{\tau }\]

\[{m_2} = {m_0}\frac{\tau }{{{\tau _0}}}\]

\[{A_з} = q{m_0}\frac{\tau }{{{\tau _0}}}\;\;\;\;(3)\]

В формулу (1) подставим выражения (2) и (3):

\[\eta = \frac{{\left( {c{m_1}\left( {{t_к} — {t_1}} \right) + L\Delta m} \right){\tau _0}}}{{q{m_0}\tau }}\]

Откуда нужное нам время \(\tau\) равно:

\[\tau = \frac{{\left( {c{m_1}\left( {{t_к} — {t_1}} \right) + L\Delta m} \right){\tau _0}}}{{\eta q{m_0}}}\]

Переведём КПД в доли единиц, все массы — в килограммы, время — в секунды.

\[60\% = 0,6\]

\[500\;г = 0,5\;кг\]

\[20\;г = 0,02\;кг\]

\[4\;г = 0,004\;кг\]

\[1\;мин = 60\;с\]

Численно время \(\tau\) равно:

\[\tau = \frac{{\left( {4200 \cdot 0,5 \cdot \left( {100 — 20} \right) + 2,26 \cdot {{10}^6} \cdot 0,02} \right) \cdot 60}}{{0,6 \cdot 29 \cdot {{10}^6} \cdot 0,004}} = 183,8\;с\]