Решение: Поток гамма-излучения, имеющий мощность P, при нормальном падении полностью

Условие задачи:

Поток \(\gamma\)-излучения, имеющий мощность \(P\), при нормальном падении полностью поглощается счетчиком фотонов. Найти импульс, передаваемый ему при этом за время \(t\).

Задача №11.1.44 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(P\), \(t\), \(p-?\)

Решение задачи:

Так как каждый фотон излучения, имеющий импульс \(p_0\), полностью поглощается счетчиком фотонов, то изменение импульса каждого фотона при таком поглощении равно \(p_0\). Так как за время \(t\) на зеркало падает \(N\) фотонов, то общее изменение импульса пучка фотонов за это время равно \(N{p_0}\). Точно такое же изменение импульса будет испытывать и счетчик фотонов, поскольку на систему не действуют внешние силы.

Учитывая вышесказанное, имеем:

\[p = N{p_0}\;\;\;\;(1)\]

Начнем с простого, сначала определим импульс одного фотона \(p_0\), так как это выполнить проще всего. Запишем формулу длины волны де Бройля \(\lambda\):

\[\lambda = \frac{h}{p_0}\;\;\;\;(2)\]

В этой формуле \(h\) — это постоянная Планка, равная 6,62·10^-34 Дж·с. Из этой формулы (2) выразим импульс одного фотона \(p_0\):

\[{p_0} = \frac{h}{\lambda }\;\;\;\;(3)\]

Теперь будем определять число фотонов \(N\), которое падает на зеркало за одну секунду, для этого воспользуемся следующими соображениями. Мощность потока \(\gamma\)-излучения \(P\) — это отношение общей энергии всех фотонов \(E\), излучаемых за время \(t\), к этому времени \(t\), поэтому справедливо записать:

\[P = \frac{E}{t}\;\;\;\;(4)\]

Очевидно, что общая энергия всех фотонов \(E\) равна произведению энергии одного фотона \({E_0}\) на количество этих фотонов \(N\):

\[E = N{E_0}\;\;\;\;(5)\]

Согласно формуле Планка, энергия фотона \(E_0\) пропорциональна частоте колебаний \(\nu\) и определяется следующим образом:

\[{E_0} = h\nu \;\;\;\;(6)\]

Известно, что частоту колебаний \(\nu\) можно выразить через скорость света \(c\), которая равна 3·10⁸ м/с, и длину волны \(\lambda\) по следующей формуле:

\[\nu = \frac{c}{\lambda }\;\;\;\;(7)\]

Подставим сначала (7) в (6), полученное — в (5), и полученное после этого — в формулу (4), тогда получим:

\[P = \frac{{Nhc}}{{\lambda t}}\]

Отсюда число фотонов \(N\) равно:

\[N = \frac{{P\lambda t}}{{hc}}\;\;\;\;(8)\]

Осталось только подставить выражения (3) и (8) в формулу (1):

\[p = \frac{{P\lambda th}}{{hc\lambda }}\]

\[p = \frac{{Pt}}{c}\]