Решение: При какой скорости кинетическая энергия частицы равна 2/3 ее энергии покоя?

Условие задачи:

При какой скорости кинетическая энергия частицы равна 2/3 ее энергии покоя?

Задача №11.5.25 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

\(E_к=\frac{2}{3}E_0\), \(\upsilon-?\)

Энергию покоя частицы \(E_0\) можно найти по следующей формуле:

\[{E_0} = {m_0}{c^2}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(m_0\) — масса покоя частицы, \(c\) — скорость света в вакууме, равная 3·10⁸ м/с.

Кинетическую энергию частицы \(E_к\), движущейся со скоростью \(\upsilon\) относительно наблюдателя, можно найти по следующей формуле:

\[{E_к} = \frac{{{m_0}{c^2}}}{{\sqrt {1 — \frac{{{\upsilon ^2}}}{{{c^2}}}} }} — {m_0}{c^2}\;\;\;\;(2)\]

Так как в условии сказано, что кинетическая энергия частицы \(E_к\) равна ее 2/3 энергии покоя \(E_0\), тогда учитывая (1) и (2), имеем:

\[\frac{{{m_0}{c^2}}}{{\sqrt {1 — \frac{{{\upsilon ^2}}}{{{c^2}}}} }} — {m_0}{c^2} = \frac{2}{3}{m_0}{c^2}\]

\[\frac{{{m_0}{c^2}}}{{\sqrt {1 — \frac{{{\upsilon ^2}}}{{{c^2}}}} }} = \frac{5}{3}{m_0}{c^2}\]

\[\frac{1}{{\sqrt {1 — \frac{{{\upsilon ^2}}}{{{c^2}}}} }} = \frac{5}{3}\]

\[\sqrt {1 — \frac{{{\upsilon ^2}}}{{{c^2}}}} = \frac{3}{5}\]

Возведем в квадрат обе части полученного уравнения:

\[1 — \frac{{{\upsilon ^2}}}{{{c^2}}} = \frac{9}{{25}}\]

\[\frac{{{\upsilon ^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{16}}{{25}}\]

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[\frac{\upsilon }{c} = \frac{4}{5}\]

\[\upsilon = \frac{4}{5}c\]

Численный ответ равен:

\[\upsilon = \frac{4}{5} \cdot 3 \cdot {10^8} = 2,4 \cdot {10^8}\;м/с\]

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.