Решение: Средняя скорость упорядоченного движения электронов в медной проволоке сечением

Условие задачи:

Средняя скорость упорядоченного движения электронов в медной проволоке сечением 1 мм² равна 74 мкм/с. Какова сила тока в проводнике, если считать, что из каждого атома меди освобождается два свободных электрона?

Задача №7.1.25 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(S=1\) мм², \(\upsilon=74\) мкм/с, \(N_0=2N\), \(I-?\)

Решение задачи:

Силу тока \(I\) можно найти как произведение плотности тока \(j\) на площадь поперечного сечения \(S\):

\[I = jS\]

Плотность тока \(j\) же можно найти как произведение концентрации электронов \(n\), модуля заряда электрона \(e\) (напомним, что он равен 1,6·10^-19 Кл) и скорости упорядоченного движения электронов \(\upsilon\):

\[j = ne\upsilon \]

Поэтому:

\[I = ne\upsilon S\;\;\;\;(1)\]

Давайте попробуем найти неизвестную концентрацию свободных электронов \(n\). По сути указанная концентрация — это количество электронов \(N_0\) в единице объема \(V_0\), поэтому верна формула:

\[n = \frac{{{N_0}}}{{{V_0}}}\]

По условию задачи из каждого атома меди освобождается два свободных электрона, то есть \(N_0=2N\) (здесь \(N\) — количество атомов меди в единице объема \(V_0\)), а это значит, что:

\[n = \frac{{2N}}{{{V_0}}}\;\;\;\;(2)\]

Количество атомов меди \(N\) в единице объема \(V_0\) будем определять таким образом:

\[N = \nu {N_А}\;\;\;\;(3)\]

Здесь \(N_А\) — постоянная Авогадро, равная 6,022·10²³ моль^-1, а \(\nu\) — количество вещества, содержащееся в единице объема \(V_0\), которое найдем так:

\[\nu = \frac{m}{M}\;\;\;\;(4)\]

Здесь \(M\) — молярная масса меди, равная 0,064 кг/моль, а \(m\) — масса меди единичного объема \(V_0\), которое очень легко найти по формуле:

\[m = \rho {V_0}\;\;\;\;(5)\]

В этой формуле \(\rho\) — плотность меди, равная 8900 кг/м³. Подставим (5) в (4), а полученное в (3), тогда:

\[N = \frac{{{N_А}\rho {V_0}}}{M}\]

Полученное выражение поставим в (2):

\[n = \frac{{2{N_А}\rho {V_0}}}{{M{V_0}}}\]

\[n = \frac{{2{N_А}\rho }}{M}\;\;\;\;(6)\]

Чтобы получить окончательное решение задачи, остается только подставить (6) в (1):

\[I = \frac{{2{N_А}\rho e\upsilon S}}{M}\]

Посчитаем ответ:

\[I = \frac{{2 \cdot 6,022 \cdot {{10}^{23}} \cdot 8900 \cdot 1,6 \cdot {{10}^{ — 19}} \cdot 74 \cdot {{10}^{ — 6}} \cdot {{10}^{ — 6}}}}{{0,064}} = 2\;А\]