Решение: Цепь состоит из аккумулятора с внутренним сопротивлением 5 Ом и нагрузки 15 Ом

Условие задачи:

Цепь состоит из аккумулятора с внутренним сопротивлением 5 Ом и нагрузки 15 Ом. При подключении к нагрузке некоторого резистора параллельно, а затем последовательно ток через этот резистор не меняется. Чему равно сопротивление резистора?

Задача №7.2.28 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(r=5\) Ом, \(R_0=15\) Ом, \(I_1=I_2\), \(R-?\)

Решение задачи:

При последовательном подключении нагрузки \(R_0\) с резистором \(R\) ток в цепи можно найти, используя закон Ома для полной цепи, по такой формуле:

\[{I_1} = \frac{{\rm E}}{{R + {R_0} + r}}\;\;\;\;(1)\]

Теперь рассмотрим параллельное подключение этих же элементов. Если посмотреть на схему, то в принципе понятно, что в узле A ток \(I\) разделяется на два тока: ток \(I_2\) и ток \(I_3\), поэтому верно (строго говоря, это первый закон Кирхгофа):

\[I = {I_2} + {I_3}\;\;\;\;(2)\]

Так как сопротивления \(R\) и \(R_0\) соединены параллельно (то есть напряжения на них одинаковы), то справедливо равенство:

\[{I_3}{R_0} = {I_2}R\]

Выразим из этого равенства ток \(I_3\):

\[{I_3} = {I_2}\frac{R}{{{R_0}}}\]

Полученное подставим в (2), тогда:

\[I = {I_2} + {I_2}\frac{R}{{{R_0}}}\]

\[I = {I_2}\frac{{{R_0} + R}}{{{R_0}}}\]

Отсюда выразим ток \(I_2\):

\[{I_2} = \frac{{I{R_0}}}{{R + {R_0}}}\;\;\;\;(3)\]

Чтобы узнать ток \(I\), запишем закон Ома для полной цепи:

\[I = \frac{{\rm E}}{{R_{экв} + r}}\;\;\;\;(4)\]

Здесь \(R_{экв}\) — внешнее сопротивление цепи, которое можно найти по формуле (как эквивалентное сопротивление двух параллельно соединенных сопротивлений):

\[{R_{экв}} = \frac{{R{R_0}}}{{R + {R_0}}}\;\;\;\;(5)\]

Подставим (5) в (4):

\[I = \frac{{\text{E}}}{{\frac{{R{R_0}}}{{R + {R_0}}} + r}}\]

Домножим и числитель, и знаменатель на \(\left( {R + {R_0}} \right)\):

\[I = \frac{{{\text{E}}\left( {R + {R_0}} \right)}}{{R{R_0} + r\left( {R + {R_0}} \right)}}\]

\[I = \frac{{{\text{E}}\left( {R + {R_0}} \right)}}{{R{R_0} + rR + r{R_0}}}\]

Полученное подставим в (3), тогда:

\[{I_2} = \frac{{{\text{E}}{R_0}}}{{R{R_0} + rR + r{R_0}}}\;\;\;\;(6)\]

Так как в условии сказано, что при различных вариантах подключения ток через резистор не меняется, то есть \(I_1=I_2\), то приравняем (1) и (6):

\[\frac{{\rm E}}{{R + {R_0} + r}} = \frac{{{\text{E}}{R_0}}}{{R{R_0} + rR + r{R_0}}}\]

\[\frac{1}{{R + {R_0} + r}} = \frac{{{R_0}}}{{R{R_0} + rR + r{R_0}}}\]

Перемножим «крест-накрест»: