Решение: Цепь состоит из аккумулятора с внутренним сопротивлением 5 Ом и нагрузки 15 Ом

Условие задачи:

Цепь состоит из аккумулятора с внутренним сопротивлением 5 Ом и нагрузки 15 Ом. При подключении к нагрузке некоторого резистора параллельно, а затем последовательно ток через этот резистор не меняется. Чему равно сопротивление резистора?

Задача №7.2.28 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$r=5$ Ом, $R_0=15$ Ом, $I_1=I_2$ , $R-?$

Решение задачи:

При последовательном подключении нагрузки $R_0$ с резистором $R$ ток в цепи можно найти, используя закон Ома для полной цепи, по такой формуле:

${I_1} = \frac{{\rm E}}{{R + {R_0} + r}}\;\;\;\;(1)$

Теперь рассмотрим параллельное подключение этих же элементов. Если посмотреть на схему, то в принципе понятно, что в узле A ток $I$ разделяется на два тока: ток $I_2$ и ток $I_3$ , поэтому верно (строго говоря, это первый закон Кирхгофа):

$I = {I_2} + {I_3}\;\;\;\;(2)$

Так как сопротивления $R$ и $R_0$ соединены параллельно (то есть напряжения на них одинаковы), то справедливо равенство:

${I_3}{R_0} = {I_2}R$

Выразим из этого равенства ток $I_3$ :

${I_3} = {I_2}\frac{R}{{{R_0}}}$

Полученное подставим в (2), тогда:

$I = {I_2} + {I_2}\frac{R}{{{R_0}}}$

$I = {I_2}\frac{{{R_0} + R}}{{{R_0}}}$

Отсюда выразим ток $I_2$ :

${I_2} = \frac{{I{R_0}}}{{R + {R_0}}}\;\;\;\;(3)$

Чтобы узнать ток $I$ , запишем закон Ома для полной цепи:

$I = \frac{{\rm E}}{{R_{экв} + r}}\;\;\;\;(4)$

Здесь $R_{экв}$ — внешнее сопротивление цепи, которое можно найти по формуле (как эквивалентное сопротивление двух параллельно соединенных сопротивлений):

${R_{экв}} = \frac{{R{R_0}}}{{R + {R_0}}}\;\;\;\;(5)$