Решение: Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов 200 В, влетела в точке 1

Условие задачи:

Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов 200 В, влетела в точке 1 в поперечное магнитное поле с индукцией 4 мТл. Расстояние между точками 1 и 2 равно 1 м. Найдите отношение заряда частицы к ее массе.

Задача №8.2.13 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(U=200\) В, \(B=4\) мТл, \(d=1\) м, \(\frac{q}{m}-?\)

Решение задачи:

Зная, что заряженная частица была ускорена разностью потенциалов \(U\), её скорость \(\upsilon\) можно найти по закону сохранения энергии:

\[qU = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2}\]

Откуда:

\[\upsilon = \sqrt {\frac{{2qU}}{{m}}} \;\;\;\;(1)\]

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца \(F_Л\), которую определяет следующая формула:

\[{F_Л} = B\upsilon q\sin \alpha \;\;\;\;(2)\]

Здесь \(B\) — индукция магнитного поля, \(\upsilon\) — скорость частицы, \(q\) — модуль заряда частицы, \(\alpha\) — угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции (\(\alpha=90^\circ\), так как по условию поле поперечное).

Направление действия силы Лоренца определяется правилом левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в нее, а четыре вытянутых пальца направить по направлению движения положительного заряда (или против направления отрицательного заряда), то большой палец, оставленный на 90°, покажет направление силы Лоренца. Пусть мы имеем дело с положительно заряженной частицей, тогда в нашем случае (при таком направлении вектора магнитной индукции) сила Лоренца будет направлена вниз (имеется ввиду направление силы Лоренца в точке 1).

Сила Лоренца \(F_Л\) сообщает частице центростремительное ускорение \(a_ц\), поэтому из второго закона Ньютона следует, что:

\[{F_Л} = m{a_ц}\;\;\;\;(3)\]

Центростремительное ускорение \(a_ц\) можно определить через скорость \(\upsilon\) и радиус кривизны траектории \(R\) по формуле:

\[{a_ц} = \frac{{{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(4)\]

Подставим (4) в (3), тогда:

\[{F_Л} = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(5)\]

Приравняем правые части (2) и (5):

\[B\upsilon q\sin \alpha = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{R}\]

Имеем:

\[Bq\sin \alpha = \frac{{m\upsilon }}{R}\]

Учитывая (1), получим:

\[Bq\sin \alpha = \frac{m}{R}\sqrt {\frac{{2qU}}{m}} \]

Возведем в квадрат обе части этого равенства:

\[{B^2}{q^2}{\sin ^2}\alpha = \frac{{{m^2}}}{{{R^2}}} \cdot \frac{{2qU}}{m}\]

\[{B^2}{\sin ^2}\alpha = \frac{m}{{{R^2}}} \cdot \frac{{2U}}{q}\]

Откуда искомое отношение заряда частицы к массе \(\frac{q}{m}\) равно:

\[\frac{q}{m} = \frac{{2U}}{{{B^2}{R^2}{{\sin }^2}\alpha }}\]

Очевидно, что расстояние между точками 1 и 2 равно диаметру окружности, по которой движется заряженная частица в магнитном поле. Известно, что радиус окружности равен половине диаметра, то есть \(R= \frac{D}{2}\), поэтому окончательно имеем:

\[\frac{q}{m} = \frac{{8U}}{{{B^2}{D^2}{{\sin }^2}\alpha }}\]

Посчитаем ответ:

\[\frac{q}{m} = \frac{{8 \cdot 200}}{{{{0,004}^2} \cdot {1^2} \cdot {{\sin }^2}90^\circ }} = {10^8}\;Кл/кг\]